Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

n
n ∼
1
}
b
Z
a
p(x) dx =
b
Z
a
dx
λ
∼
d
λ
À 1,
µ
ω
U(x) =
1
2
µω
2
x
2
.
E
p(x) =
s
2µ
µ
E −
1
2
µω
2
x
2
;
b =
s
2E
µω
2
, a = −b.
p(x)
r
µω
2
2E
x = sin v
J =
b
Z
a
p(x) dx =
p
8µE
b
Z
0
r
1 −
µω
2
2E
x
2
dx =
4E
ω
π/2
Z
0
cos
2
v dv =
πE
ω
.
π}
µ
n +
1
2
E
n
= }ω
µ
n +
1
2
, n = 0, 1, . . .
   Ôàêòè÷åñêè ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ (3.12) ïðèìåíèìî ïðè áîëüøèõ çíà-
÷åíèÿõ n. Äåéñòâèòåëüíî,

                             Zb               Zb
                       1                           dx  d
                    n∼            p(x) dx =           ∼ À 1,
                       }                           λ   λ
                             a                a

ò.ê. â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè äå-áðîéëåâñêàÿ äëèíà âîëíû çíà-
÷èòåëüíî ìåíüøå ðàçìåðîâ îáëàñòè äâèæåíèÿ.
Ïðèìåð 3.3. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðôåëüäà, ïî-
ëó÷èòü äëÿ ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ìàññîé µ è ÷àñòî-
òîé ω ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð.
Ðåøåíèå. Êàê èçâåñòíî, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà
                                            1 2 2
                                  U (x) =     µω x .
                                            2
Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ (3.3) è (3.7), çàïèñûâàåì â ÿâíîì âèäå êëàññè÷åñêèé
èìïóëüñ è êîîðäèíàòû òî÷åê ïîâîðîòà ïðè çàäàííîé ïîëíîé ýíåðãèè E :
                             s µ               ¶
                                        1 2 2
                     p(x) = 2µ E − µω x ;                        (3.13)
                                        2
                          s
                             2E
                     b=          ,    a = −b.                    (3.14)
                            µω 2

Ôàçîâûé èíòåãàë â ëåâîé ÷àñòè (3.12) âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîäûíòåãàëüíîé
ôóíêöèåé (3.13) è ïðåäåëàìè
                    r         èíòåãðèðîâàíèÿ (3.14). Ó÷èòûâàÿ ÷åòíîñòü
                      µω 2
p(x) è äåëàÿ çàìåíó        x = sin v , èìååì:
                      2E

      Zb                 Z   br                         Zπ/2
                    p                µω 2 2     4E                     πE
 J=        p(x) dx = 8µE          1−     x dx =            cos2 v dv =    .
                                     2E          ω                      ω
      a                  0                              0
                                           ¶       µ
                                         1
Ïðèðàâíèâàÿ âû÷èñëåííûé èíòåãðàë π} n +      , ïîëó÷àåì ýíåðãåòè÷å-
                                         2
ñêèé ñïåêòð îñöèëëÿòîðà â ÂÊÁ-ïðèáëèæåíèè:
                          µ     ¶
                              1
                  En = }ω n +     ,  n = 0, 1, . . .
                              2


                                         39

Страницы