Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

n À 1 ¤
x > b U(x) = ∞ x > b
Ψ(x) ≡ 0
x = b
Ψ(b) = 0.
x > b
a
b
b
x = b
π
2
+πn n
b
Z
a
p(x) dx = π}
µ
n +
3
4
, n = 0, 1, . . .
n
p(x)
a
b
¤
Èíòåðåñíî, ÷òî â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ðåçóëüòàò îêàçûâàåòñÿ òî÷íûì,
õîòÿ ôàêòè÷åñêè ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðôåëüäà ñïðàâåäëèâî
ëèøü äëÿ âûñîêîâîçáóæäåííûõ óðîâíåé (n À 1).                      ¤

Ïðèìåð 3.4. Ïîëó÷èòü ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðôåëüäà äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà äâèæåíèå ñ îäíîé ñòîðîíû îãðàíè÷åíî íåïðîíèöàåìîé
ñòåíêîé.
Ðåøåíèå. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ÷àñòèöà íå ìîæåò ïðîíèêàòü â îá-
ëàñòü x > b, ò.å. U (x) = ∞ ïðè x > b (ñì. ðèñ. 3.3), è çäåñü âîëíîâàÿ
ôóíêöèÿ Ψ(x) ≡ 0. Îíà òàêæå äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íóëü è íà ãðàíèöå
ïðè x = b (ñòàíäàðòíûå óñëîâèÿ òðåáóþò íåïðåðûâíîñòè âîëíîâîé ôóíê-
öèè):
                                 Ψ(b) = 0.                      (3.15)
Ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ â ôîðìå (3.12) íå ó÷èòûâàåò ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ
(3.15), ïîñêîëüêó gðè åãî âûâîäå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
äîëæíà ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàòü â îáëàñòè x > b.
    ×òîáû îáîáùèòü ïðàâèëî êâàíòîâà-
íèÿ, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ñîïðÿæå-
íèÿ (3.9) äëÿ òî÷êè ïîâîðîòà a. Äëÿ
òî÷êè ïîâîðîòà b ôîðìóëà ñîïðÿæåíèÿ
(3.10) íåïðèìåíèìà, ïîñêîëüêó â êëàñ-
ñè÷åñêè ðàçðåøåííîé îáëàñòè ïðè äîñòà-
òî÷íî âûñîêîé ýíåðãèè äâèæåíèå êâàçè-
êëàññè÷íî âñþäó âïëîòü äî òî÷êè b. Ïî-
òðåáóåì äëÿ ôóíêöèè (3.9) âûïîëíåíèÿ
ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (3.15), ò.å., ïîëàãàÿ
x = b, ïðèðàâíÿåì àðãóìåíò êîñèíóñà âå-
         π                                          Ðèñ. 3.3:
ëè÷èíå + πn (n  öåëîå).  ðåçóëüòàòå
         2
ïîëó÷èì ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè íåïðîíèöàåìîé ñòåíêè:
               Zb               µ      ¶
                                     3
                    p(x) dx = π} n +     ,   n = 0, 1, . . .
                                     4
               a

(êàê è ðàíåå, íà÷àëî îòñ÷åòà n âûáðàíî ñ ó÷åòîì ïîëîæèòåëüíîé îïðåäå-
ëåííîñòè p(x) â êëàññè÷åñêè äîñòóïíîé îáëàñòè).
   Òàêèì æå áóäåò ðåçóëüòàò è ïðè íàëè÷èè ñòåíêè â òî÷êå a (ïðè ýòîì
òî÷êà b ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé).  îáîèõ ñëó÷àÿõ âûïîëíÿåòñÿ îñöèëëÿ-
öèîííàÿ òåîðåìà. Ðåêîìåíäóåì ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåðèòü äàííûå óòâåð-
æäåíèÿ.                                                            ¤

                                    40

Страницы