Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 3 стр.

                                      3


                    1. Волновая функция. Операторы
    Состояние системы (частицы) в квантовой механике определяется волно-
                 
вой функцией ψ ( r , t ) , являющейся функцией координат и времени. Физиче-
                                                                     
ский смысл при этом имеет не сама волновая функция, а величина | ψ (r, t) |2 ,
представляющая
             вероятность найти частицу в элементе объема dV в окрест-
ности точки r в момент времени t , т.е.
                                           
                           dW (r, t) = | ψ (r, t) |2 dV .               (1)
Интегрирование (1) по всему пространству на основании теоремы сложения
вероятностей должно дать вероятность достоверного события, т.е. 1:
                                     2
                             ∫ | ψ (r, t) | dV =1 .   
                                                                        (2)
Это условие называется нормировкой, а функция ψ ( r , t ) , удовлетворяющая
ему, — нормированной.
     Волновая функция должна удовлетворять так называемым "стандарт-
ным" условиям, т.е. быть однозначной, непрерывной и конечной во всех точ-
ках пространства.
     Для того чтобы устранить противоречие между корпускулярным и вол-
новым описанием явлений, оказалось необходимым ввести специальный по-
стулат, так называемый принцип суперпозиции: если квантовая система (час-
тица) может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями
ψ1 , ψ 2 ,  ψ n , то их линейная комбинация (суперпозиция)
                              ψ =∑ a n ψ n
                                  n
также является волновой функцией, описывающей возможное состояние сис-
темы. Здесь a n — произвольные постоянные.
    Принцип суперпозиции вскрывает математическую природу квантового
состояния, он указывает на то, что состояние системы должно описываться
некоторым вектором — вектором состояния, являющимся элементом линей-
ного пространства.
    При этом можно рассматривать операцию перехода от одного вектора
состояния (волновой функции) к другому вектору состояния. Символически
эту операцию можно представить как результат действия на ψ некоторого
оператора:
                               € =ψ' .
                               Lψ
Оператором называется совокупность математических действий, позволяю-
щих получить из данной функции другую функцию.