Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 4 стр.

                                     4

                             Алгебра операторов
            € называется суммой операторов C
1. Оператор C                              € и B€ (C
                                                   € =A
                                                      € +B
                                                         €) , если для
произвольной функции ψ выполняется соотношение:
                                 €ψ =A
                                 C   €ψ +B
                                         €ψ .

2. Оператор C                                              € и B
                € называется произведением двух операторов A   €
( C€ =A
      € B)
        € , если выполняется равенство:
                                  €ψ =A
                                  C   € (B
                                         €ψ ) ,
где ψ — произвольная функция. Сначала действует оператор, стоящий бли-
же к функции ψ , а затем на этот результат действует оператор A   €.
    В общем случае A   €B   € € , т.е. A
                         € ≠BA         €B    € € ≠0 . Если выполняется равенст-
                                         € −BA
во A€B€ −BA
         € € = 0 , то операторы A  € и B € называют коммутирующими, в про-
тивном случае — некоммутирующими. Оператор A       €B   € € =[A,
                                                     € −BA    € B]
                                                                 € называ-
ется коммутатором операторов A€иB € . Очевидно, что выполняется равенство
 €, B
[A  €] =−[B  €] .
          €, A
3. Оператор A € называется единичным (A  € =1 ) , если при его действии на
произвольную функцию ψ выполняется соотношение:
                                         € =ψ .
                                         Aψ
                                      € =B
4. Два оператора называются равными ( A  €) , если для произвольной
функции ψ имеет место соотношение:
                                    €ψ =B
                                    A   €ψ .

5. Оператор A                       € =0 ) , если результат его действия на
             € называется нулевым ( A
произвольную функцию ψ есть 0:
                                 A€ψ =0 .
6. Действительная целая положительная степень n оператора A € определяется
соотношением:
                               €n ψ =A
                                     € ⋅A
                                        € ⋅ ⋅ A
                                               €
                               A        ψ .
                                           n раз
    В квантовой механике каждой физической (наблюдаемой) величине ста-
вится в соответствие некоторый оператор F€ . При этом знание норми-
                              
рованной волновой функции ψ ( r , t ) некоторого состояния позволяет вычис-
лить среднее значение координаты, импульса и других физических величин в
этом состоянии:
                                                 
                            =∫ψ* (r, t) F€ψ (r,t) dV .              (3)