Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 5 стр.

                                              5

    Операторы физических величин должны быть линейными (чтобы вы-
полнялся принцип суперпозиции) и самосопряженными (эрмитовыми). Эр-
митовость необходима для того, чтобы средние значения физических вели-
чин, соответствующие этим операторам, были действительными. Условие
самосопряженности (эрмитовости) имеет вид:

                                 ∫ψ1 F€ψ 2dV =∫ψ 2 F€ ψ1dV .
                                    *                     * *


Функции ψ1 и ψ 2 должны удовлетворять стандартным условиям.
    Приведем вид операторов основных физических величин.
                            
1. Оператор координаты: €  r =r . Он совпадает со значением координаты, его
действие на функцию сводится к обычному умножению этой функции на ко-
ординату.
                                        ∂  ∂  ∂
2. Оператор импульса: p€ =−i∇ =−i ( i        + j +k ) — векторный опе-
                                           ∂x     ∂y    ∂z
ратор, имеющий проекции:
                                                         
     p€x = −i ∂ ∂x ; p€y =−i ∂ ∂y; p€z =−i ∂ ∂z , и p€2 = p€2x +p€2y +p€z2 .

3. Оператор момента количества движения L = €
                                             €  
                                                          [ ]
                                                  r ×p€ — векторный оператор,
проекции которого могут быть получены из определителя:
                                         
                                  i   j k
                             €
                            L= x      y z ;
                                        p€x   p€y   p€z

L€x =y p€z −z p€y ; L€y =z p€x −x p€z ; L€ z =x p€ y −y p€x ; L€2 =L€2x +L€2y +L€2z ;
в сферической или цилиндрической системах координат L€z = −i ∂ ∂ϕ.
                                     
4. Оператор кинетической энергии T€ =p€2 2m или

  €   1 2       2    2      2 2      2 ∂2    ∂2     ∂2
 T=     (p€x +p€y +p€z ) = − ∇ =− ( 2 + 2 + 2 ) .
     2m                     2m       2m ∂x     ∂y    ∂z
                                         
5. Оператор потенциальной энергии U( r ) — скалярный оператор, совпа-
дающий со своим значением.
6. Оператор полной энергии H  € (гамильтониан) H€ =T€ +U(r ) .
                                         2
                                  € = −  ∇ 2 +U(r)
                                  H
                                                 
                                                    .
                                       2m