Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Приведем коммутационные соотношения между операторами основных фи-
зических величин (индексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3 и соответству-
ют проекциям x, y, z в декартовой системе координат):
ij
[r,r]0 ;
=
ij
€€
[p,p]0 ;
=
2
i
€€
[L,L]0
=
;
i
j
[r, ;
€
p]
i
=δ
h
ijijkk
€
[r,L]r ;
i=εh
ijijkk
€
€€
[p,L]p
i=εh ;
ijijkk
€€€
[L,L]L
i=εh .
Здесь
ijk
ε
— единичный антисимметричный тензор 3 ранга ;
ijk
0,если совпадают 2 или все 3 индекса i,j,k ;
1, если индексы i, j, k при четной п
ерестановке приходят к
последовательности 1,2,3;
1, если индексы i, j, k при нечетной перестановке
ε=
−
приходят к
последовательности 1,2,3 .
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Вычислить коммутатор операторов координаты x и кинетической
энергии
€
T
.
Решение .
2
222222
xyzxyz
€
p11
€
€€€€€€
[x, T][ x, ][x, (ppp)]([x,p][x,p][x,p])
2m2m2m
==++=++=
r
2
x
1
€
[ x,p]
2m
= , так как
22
yz
€€
[x, p][x,p]0
==
.
Подействуем оператором
€
[x, p]
на произвольную функцию
(x)
ϕ
:
2
x
€
[x,p]
22
222
xx
22
dd
€€
(x)x p(x)px (x)[(x)(x(x))]
dxdx
ϕ=ϕ−ϕ=−ϕ−ϕh =
=
ϕ=ϕ−ϕ−ϕ−=ϕ+ϕ−ϕ−
dx
d
2 ) ' ' ' 2 '' ( ] ) 'x (
dx
d
'' [
222
hhh
;
таким образом,
2
x
d
€
€
[x,T]p
mdxm
i
==
hh
.
Пример 2. Доказать эрмитовость оператора
x
p
€
.
Решение . Необходимо доказать равенство следующих интегралов:
*
1x 2x1
2
€€
p dxpdx
∞∞
∗
−∞−∞
ψψ=ψψ
∫∫
, причем функции
1
ψ
и
2
ψ
удовлетворяют
стандартным условиям. Интегрирование по частям интеграла , стоящего сле -
ва , дает: 
                                                         6

Приведем коммутационные соотношения между операторами основных фи-
зических величин (индексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3 и соответству-
ют проекциям x, y, z в декартовой системе координат):
[ri , r j ] =0 ;     [p€i , p€j ] =0 ;          €i ,L€2 ] =0 ;
                                               [L                      [ri , p€j ] =i δij ;

[ri , L€ j ] =i εijk rk ;               € j ] =i εijk p€k ;
                                  [p€i , L                              €i , L€ j ] =i  εijk L
                                                                       [L                     €k .

Здесь εijk — единичный антисимметричный тензор 3 ранга;

         �    0,если совпадают 2 или все3 индекса i,j,k ;
         �    1, если индексы i, j, k при четной перестановке приходят к
       ��
εijk =�          последовательности 1,2,3;
          � −1, если индексы i, j, k при нечетной перестановке приходят к
           �
             �  последовательности 1,2,3 .
     Рассмотрим примеры.
Пример 1. Вычислить коммутатор операторов координаты x и кинетической
энергии T€ .
Решение.
                  
    €            p€2      1                               1
[x, T] =[ x,          ]=     [x, (p€2x +p€2y +p€z2 )] =     ([x, p€2x ] +[x, p€2y ] +[x, p€2z ]) =
                 2m 2m                                   2m
    1
=      [ x, p€2x ] , так как [x, p€2y ] =[x, p€2z ] =0 .
  2m
Подействуем оператором [x, p€2x ] на произвольную функцию ϕ(x) :
                                                                d2         d2
[x, p€2x ] ϕ(x) =x p€2x ϕ(x) −p€2x x ϕ(x) =− 2 [   ϕ(x) − 2 (x ϕ(x))] =
                                                            dx  dx 2
                d                                              d
= − 2[ ϕ ' ' − ( ϕ +xϕ' ) ] =− 2 (ϕ ' ' −2ϕ ' −ϕ ' ' ) =2 2 ϕ ;
               dx                                             dx
                             2
таким образом, [x, T]€ = d =i p€ .
                                          x
                           m dx m
Пример 2. Доказать эрмитовость оператора p€ x .
Решение. Необходимо доказать равенство следующих интегралов:
 ∞                           ∞

 ∫   ψ1∗p€x   ψ2 dx = ∫ψ2 p€*x ψ1 dx , причем функции ψ1 и ψ2 удовлетворяют
−∞                           −∞
стандартным условиям. Интегрирование по частям интеграла, стоящего сле-
ва, дает:

Страницы