Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 8 стр.

                                    8
                                                                        
  14. Найти оператор бесконечно малого поворота вокруг направления n и
                                                   €         
      выразить его через оператор момента импульса L . ( 1 +i nL€ dϕ  ) .

    2. Собственные функции и собственные значения операторов
     Собственные функции и собственные значения операторов определяют-
ся из уравнения:
    €ψ =A ψ ,
    A                                                                     (4)
      n  n n

где A n — константа, не зависящая от координаты.
      Это уравнение в зависимости от вида оператора может представлять со-
бой дифференциальное, трансцендентное уравнение или систему линейных
алгебраических уравнений. Задача на собственные функции и собственные
значения формулируется таким образом, чтобы собственные функции ψ n
удовлетворяли стандартным условиям (конечность, однозначность, непре-
рывность). Это может привести к ограничению на собственные значения
A n , т.е. решения уравнения (4) будут существовать не при всех значениях A,
а лишь при некоторых избранных: A1 , A 2 , A n  Соответствующие реше-
ния (4) ψ , ψ , ψ называются собственными функциями оператора A         €, а
         1   2     n
значения A1 , A 2 , A n — собственными значениями.
     Совокупность всех собственных значений оператора называется его
спектром. Спектр может быть дискретным, когда возможны лишь отдельные
значения A1 , A 2 , A n  (величина A квантуется), либо непрерывным, ко-
гда возможны все значения A в некотором интервале. При этом эрмитов опе-
ратор всегда имеет действительный спектр ( A n = A*n ) в случае дискретного
спектра и A =A∗ в случае непрерывного спектра).
    В квантовой механике постулируется, что эти собственные значения и
являются теми возможными значениями физической величины, которые
можно наблюдать экспериментально.
    В том случае, когда одному собственному значению соответствуют не-
сколько линейно независимых собственных функций, спектр оператора на-
зывается вырожденным. Число этих функций называется кратностью выро-
ждения.
    В зависимости от характера спектра (дискретный или непрерывный)
собственные функции обладают следующими свойствами:
а) случай дискретного спектра.
     1. Ортонормированность:
     ∞
                                          � 1, m =n .
      ∫
          *
        ψ m ( ξ) ψ n ( ξ) d ξ =δmn ; δmn = �                       (5)
                                             � 0, m ≠n .
     −∞
Интеграл берется по всей области изменения переменных ξ , от которых за-
висят собственные функции.