Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
1)
L
sin ( Lx )
( x )lim
x
→∞
δ=
π
;
2)
22
0
1
(x)
x
lim
α→
α
δ=
π
α+
.
Полезным является равенство (разложение
δ
-функции в интеграл Фурье ):
ikx
edk2(x) .
∞
−∞
=πδ
∫
x
δ
является четной функцией:
x
x
−
δ
=
δ
.
Приведенные ниже равенства справедливы , если их применять в качестве
множителей под знаком интеграла :
0
x
x
=
δ
;
( a x ) ( x ) a
δ=δ
;
.
a
x
a
f
a
x
x
f
−
δ
=
−
δ
Вычисление интегралов, содержащих производную дельта – функции,
производится интегрированием по частям с учетом перечисленных ниже
свойств . Поэтому
∫
∞
∞−
−=δ ) 0 (
'
Fdx ) x ( F ) x (' .
Производная
x
'
δ
удовлетворяет соотношению :
x
x
'
x
δ
−
=
δ
.
Трехмерная
δ
-функция ) r (
r
δ
определяется равенством:
3i kr3
( r ) ( x ) ( y ) ( z ) ( 2 )edk
−⋅
δ=δδδ=π
∫
r
r
r
.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить задачу на собственные функции и собственные значения
оператора проекции момента количества движения на ось z
z
€
(L)
.
Решение . В декартовых координатах
zyx
€
€€
Lx py p
=−, однако наиболее про-
стой вид этот оператор имеет в сферических координатах:
z
€
L i
=−∂∂ϕ
h , где
полярный угол
ϕ
меняется в пределах от 0 до
π
2
. Таким образом, задача на
собственные функции и собственные значения сводится к решению уравне -
ния:
z
()
L ()
i
∂ψϕ
−=ψϕ
∂ϕ
h
.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
z
()Cexp ( iL)
ψϕ=ϕ
h
,
при этом нам необходимы только те функции, которые удовлетворяют стан-
дартным условиям (конечность , непрерывность , однозначность ). Видно , что 
                                               10

                     sin ( Lx )
     1) δ ( x ) =lim            ;
                  L→ ∞   π x
                1    α
     2) δ(x) =lim        .
           α→ 0 π α +x
                   2   2

Полезным является равенство (разложение δ-функции в интеграл Фурье):
                               ∞

                               ∫e
                                    ikx
                                          dk =2πδ(x) .
                              −∞
    δ( x ) является четной функцией: δ ( x ) =δ (−x ) .
Приведенные ниже равенства справедливы, если их применять в качестве
множителей под знаком интеграла:
 δ ( x ) x =0 ;
 δ ( a x ) =δ ( x ) a ;
 f ( x ) δ ( x −a ) =f ( a ) δ ( x −a ) .
      Вычисление интегралов, содержащих производную дельта – функции,
производится интегрированием по частям с учетом перечисленных ниже
свойств. Поэтому
 ∞
∫δ ' ( x ) F ( x ) dx =−F ' ( 0 ) .
−∞
Производная δ ' ( x ) удовлетворяет соотношению:
xδ ' ( x ) =−δ ( x ) .
                                  
Трехмерная δ-функция δ ( r ) определяется равенством:
                                               
                                         −3 i k⋅r 3
δ ( r ) = δ ( x ) δ ( y ) δ ( z ) = ( 2π ) ∫e d k .
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить задачу на собственные функции и собственные значения
оператора проекции момента количества движения на ось z (L€z ) .
Решение. В декартовых координатах L€z =x p€y −y p€x , однако наиболее про-
стой вид этот оператор имеет в сферических координатах: L€z =−i ∂ ∂ϕ , где
полярный угол ϕ меняется в пределах от 0 до 2π. Таким образом, задача на
собственные функции и собственные значения сводится к решению уравне-
ния:
                         ∂ψ (ϕ)
                     −i        =L z ψ (ϕ) .
                           ∂ϕ
Общее решение этого уравнения имеет вид:
                                   ψ (ϕ) =C exp ( iL z ϕ  ) ,
при этом нам необходимы только те функции, которые удовлетворяют стан-
дартным условиям (конечность, непрерывность, однозначность). Видно, что

Страницы