Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
2. Система собственных функций любого эрмитова оператора является
полной, т.е . любая функция
()
ψξ
, определенная в той же области пе -
ременных и подчиняющаяся тем же граничным условиям, что и соб-
ственные функции
12n
, ,,
ψψψ
KK
, может быть представлена в виде
nn
n
()c()
ψξ=ψξ
, (6)
где
*
nn
c()()d
∞
−∞
=ψξψξξ
∫
. (7)
Условие полноты можно записать иначе:
*
''
nn
n
( ) ( ) ()
ψξψξ=δξ−ξ
. (8)
'
()
δξ−ξ
— дельта - функция Дирака .
б ) случай непрерывного спектра.
1. Собственные функции, принадлежащие разным собственным значе-
ниям
F
и F'
, ортогональны и нормированы на
δ
-функцию :
*
FF
-
()()d(FF)
∞
′
∞
′
ψξψξξ=δ−
∫
. (9)
2. Свойство полноты имеет вид:
F
-
()c(F) () dF ,
∞
∞
ψξ=ψξ
∫
(10)
где
*
F
c(F)()()d
∞
−∞
=ψξψξξ
∫
(11)
или , аналогично (8):
*
FF
-
()()dF()
∞
∞
′′
ψξψξ=δξ−ξ
∫
. (12)
Приведем свойства Дирака
)
x
(
δ
.
Дельта - функция определяется соотношениями :
;
0 x,
0 x0,
) x (
=∞
≠
=δ
∫
∞
∞
=−δ
-
; ) a ( fdx ) a x( ) x ( f
∫
∞
∞−
=δ . 1dx ) x (
Видно , что она имеет размерность обратную размерности аргумента .
δ
-
функция определена заданием правил интегрирования ее произведений с не -
прерывными функциями .
δ
-функцию Дирака можно представить в виде пределов: 
                                                     9

      2. Система собственных функций любого эрмитова оператора является
         полной, т.е. любая функция ψ (ξ) , определенная в той же области пе-
         ременных и подчиняющаяся тем же граничным условиям, что и соб-
         ственные функции ψ1, ψ 2 , ψ n ,, может быть представлена в виде
                          ψ (ξ) =∑ cn ψ n (ξ) ,                                   (6)
                                            n
                      ∞
         где cn = ∫ψ *n ( ξ) ψ ( ξ) dξ .                                           (7)
                     −∞
Условие полноты можно записать иначе:

                                   ∑ ψ n ( ξ ) ψ*n ( ξ' ) =δ(ξ−ξ' ) .              (8)
                                    n
        δ(ξ−ξ' )     — дельта-функция Дирака.
б) случай непрерывного спектра.
     1. Собственные функции, принадлежащие разным собственным значе-
        ниям F и F' , ортогональны и нормированы на δ-функцию:
                               ∞

                               ∫ψ F (ξ) ψ F′ (ξ) dξ =δ(F −F′) .
                                        *
                                                                                   (9)
                               -∞
      2. Свойство полноты имеет вид:
                                                ∞
                               ψ (ξ) = ∫c(F) ψ F (ξ) dF ,                         (10)
                                            -∞
где
                                                ∞
                               c(F) = ∫ψ *F (ξ) ψ (ξ) dξ                          (11)
                                                −∞
или, аналогично (8):
                          ∞

                          ∫ψ F ( ξ′) ψ F ( ξ) dF =δ(ξ−ξ′) .
                                *
                                                                                   (12)
                          -∞
Приведем свойства Дирака δ( x ) .
Дельта-функция определяется соотношениями:
                                � 0, x ≠0
                      δ ( x ) =�           ;
                                 � ∞, x =0
                ∞                                              ∞
                ∫f ( x ) δ ( x −a ) dx =f ( a )          ;     ∫δ ( x ) dx =1 .
                -∞                                            −∞
Видно, что она имеет размерность обратную размерности аргумента. δ-
функция определена заданием правил интегрирования ее произведений с не-
прерывными функциями.
   δ-функцию Дирака можно представить в виде пределов:

Страницы