Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 11 стр.

                                               11

при любых Lz функция ψ (ϕ) будет ограниченной и непрерывной. Требова-
ние однозначности ψ (ϕ) =ψ (ϕ +2π ) дает:
exp ( i L z ϕ  ) =exp [ i L z ( ϕ +2π) / ] , или         exp (i2π L z  ) =1 .
Отсюда следует, что L z =m , где m = 0, ±1, ±2, , т.е. величина проекции
углового момента квантуется и, следовательно, ψ m (ϕ) =C exp ( im ϕ  ) .
    Нормировочная константа определяется из условия:
                      2π                             2π

                      ∫    ψ*m (ϕ) ψ m (ϕ) dϕ =C2    ∫dϕ =1 ,      т.е. C =( 2π ) −1 2 .
                      0                              0
Окончательно получаем набор собственных функций
                                      ψ m (ϕ) =( 2π ) −1 2e imϕ
и спектр собственных значений:
                                    L z =m , где m = 0, ±1, ±2, 
Поскольку каждому собственному значению соответствует только одна соб-
ственная функция, спектр оператора L z невырожден. Набор собственных
функций является полным. Действительно:
  ∞
                              1 ∞ −imϕ imϕ'
 ∑       ∗
        ψm ( ϕ)   ψm (ϕ ') =     ∑ e e =δ(ϕ −ϕ' ) .
                             2π m =−∞
m =−∞
Пример 2. Найти
               собственные функции и собственные значения оператора
координаты r .
Решение. Для их нахождения необходимо решить следующее уравнение:
                                                
                                           r ψ r' (r) =r ' ψ r' (r)
              
Здесь ψ r' ( r) есть собственная функция оператора координаты, соответст-
                                                  
вующая собственному значению r' . Очевидно,                       что этому уравнению удовле-
творяет единственное решение: δ(r −r') . Спектр собственных значений не-
прерывен, набор собственных функций обладает свойствами ортонормиро-
ванности и полноты:
                      *                3                       3       
                   ∫ψ r′ (r ) ψ r′′ (r ) d r =∫δ(r-r′) δ( r-r′′) d r =δ(r′-r′′) ;
                                   *                        
                                ∫ψ  r (r1 ) ψ  ( r ) d 3r =δ(r -r ) .
                                              r    2           1 2

Пример 3. Решить задачу на собственные функции и собственные значения
оператора проекции импульса p€x .
Решение. Составим уравнение на собственные функции и собственные зна-
чения для оператора p€x :
                              dψ (x)
                          −i        =p x ψ (x) .
                               dx