Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
5. Показать , что собственные значения оператора квадрата любой физи -
ческой величины неотрицательны .
3. Измеримость физических величин
В результате измерения физической величины F в любом произволь-
ном состоянии системы
ψ
должно получаться одно из собственных значений
оператора
F
€
, соответствующего этой физической величине .
В разложении нормированной волновой функции
ψ
по ортонормирван-
ной системе собственных функций
n
ψ
оператора
F
€
физической величины F
nn
n
a
ψ=ψ
∑
значения
n
|a|
равны вероятности обнаружить систему в состоянии
n
ψ
, т.е .
вероятности того , что при измерении F ее значение окажется равным
n
F
.
При этом
2
n
n
|a|1
=
∑
.
В случае, когда величина F имеет непрерывный спектр , а собственные
функции оператора
F
€
нормированы на
δ
-функцию , выражение
2
F
|a|
пред-
ставляет собой плотность вероятности
F, FdF
dW
+
обнаружить величину F в
интервале собственных значений [F, F+dF]:
2
F, FdFF
dW |a|dF
+
= .
Среднее значение физической величины F в данном состоянии системы
можно представить в виде :
2
nn
n
F|a|F
<>=
∑
,
используя определение среднего значения (3), разложение
nn
n
a
ψ=ψ
∑
и ус-
ловие
nnn
FF
∧
ψ=ψ
.
В том случае, когда система находится в состоянии с волновой функцией
ψ
, совпадающей с одной из собственных функций
n
ψ
оператора
F
€
, среднее
значение физической величины F совпадает с соответствующим собствен-
ным значением
n
F
.
В общем случае существует разброс возможных значений измеряемой
величины от среднего значения, характеризуемый дисперсией (средним
квадратичным отклонением):
2222
( F ) (FF)dFF
∧
∗
<∆>=ψ<−>ψξ=<>−<>
∫
.
Рассмотрим примеры . 
                                         13

  5. Показать, что собственные значения оператора квадрата любой физи-
     ческой величины неотрицательны.

                    3. Измеримость физических величин
    В результате измерения физической величины F в любом произволь-
ном состоянии системы ψ должно получаться одно из собственных значений
оператора F€ , соответствующего этой физической величине.
    В разложении нормированной волновой функции ψ по ортонормирван-
ной системе собственных функций ψ n оператора F€ физической величины F
                               ψ =∑ a n ψ n
                                     n
             2
значения | a n | равны вероятности обнаружить систему в состоянии ψ n , т.е.
вероятности того, что при измерении F ее значение окажется равным Fn .
При этом
                               ∑ | a n |2 =1 .
                                 n
    В случае, когда величина F имеет непрерывный спектр, а собственные
функции оператора F€ нормированы на δ-функцию, выражение | a F |2 пред-
ставляет собой плотность вероятности dWF, F+dF обнаружить величину F в
интервале собственных значений [F, F+dF]:
                           dWF, F+dF = | a F |2 dF .
   Среднее значение физической величины F в данном состоянии системы
можно представить в виде:
                            =∑ |a n |2 Fn ,
                                     n
используя определение среднего значения (3), разложение ψ =∑ a n ψ n и ус-
                                                               n
      ∧
ловие F ψ n =Fn ψ n .
     В том случае, когда система находится в состоянии с волновой функцией
ψ , совпадающей с одной из собственных функций ψ n оператора F€ , среднее
значение физической величины F совпадает с соответствующим собствен-
ным значением Fn .
     В общем случае существует разброс возможных значений измеряемой
величины от среднего значения, характеризуемый дисперсией (средним
квадратичным отклонением):
                                     ∧
                 < ( ∆F )2 >=∫ψ ∗ ( )2ψdξ =−2 .
    Рассмотрим примеры.

Страницы