Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 15 стр.

                                       15

                                            1             1
                        ∑ |a m | 2 (m)2 =2 (252 ) +2  2 =132 .
                        m
Обратим внимание на неравенство 2 ≠ .
                                                                       
Пример 2. Частица находится в состоянии, определяемом функцией ψ (r) .
                                                                     
Определить плотность вероятности того, что частица находится в точке r .
Решение. Из свойства полноты набора собственных функций оператора
                                              
r (ψ r ' ( r ) =δ (r −r ') ) следует, что ψ ( r ) можно представить в виде:
                                              
                                ψ ( r ) =∫δ (r −r ') a r ' d r ' .
                                                             3

Тогда квадрат модуля коэффициента разложения a r как раз дает нужную
плотность вероятности. Коэффициент a r определяется выражением:
                                                                  
                              a r ' =∫ δ (r −r ') ψ ( r ) d 3r =ψ ( r ') .
    Таким образом, вероятность обнаружения частицы в окрестности точки
                     
r равна W ( r ) = |ψ ( r )|2d 3r , что согласуется с физическим смыслом квад-
рата модуля волновой функции.
Пример 3. Система находится в состоянии ψ (x) =A exp ( −x 2 2a 2 +ik 0x) .
Определить , 
 . Найти область локализации частицы и вероят-
ность обнаружить у нее импульс
px .
Решение. Определим область ло-                              | ψ (x) |2
кализации частицы. Известно, что
величина      | ψ (x) |2   определяет
плотность вероятности обнару-
жить частицу в точке x . В данном                     0                x
случае                                                   δx
| ψ (x)|2 =A2 exp ( −x 2 a 2 ) ,  т.е.
плотность вероятности дается распределением Гаусса.
     Полуширина этого распределения (расстояние по оси абсцисс от точки
максимума функции x =0 до точки, в которой функция спадает в e раз)
δx = a, т.е. параметр a указывает на степень локализации частицы вблизи ну-
ля.
     Нормировка A определяется условием:
                    ∞                    ∞
                                           −x   2 a2
                   ∫| ψ (x)| dx =A      ∫e
                            2      2
                                                       dx =A 2 (a 2 π)1 2 =1 .
                   −∞                   −∞

Отсюда A 2 =(a 2 π) −1 2 . (Мы воспользовались значением интеграла Пуассо-
      ∞
           2
        - αx     π
на:   ∫e dx =    α
                   ).
      −∞