Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 16 стр.

                                                    16

    Для  по определению получаем:
                                   ∞                                      ∞
                                           ∗                                   −x2 a2
                         = ∫ψ (x) x ψ (x) dx =A                   2
                                                                          ∫e            xdx =0 .
                                  −∞                                      −∞
Аналогично для 
:
                                       ∞
                                             −x2 2a2 − ik0x              ∂        2   2a2 + ik0 x
                     =A       2
                                       ∫e                       ( −i       ) e −x                  dx =
                                       −∞
                                                                         ∂x
                              ∞
                                   −x2 2a2 −ik0 x −x2 2a2 + ik0 x �           2x �
                    =iA 2    ∫e                         e                �
                                                                          � a
                                                                              −ik� 0 dx =k0 .
                                                                               2
                                                                                   �
                             −∞
    Для нахождения распределения по импульсам представим ψ (x) в виде
разложения по собственным функциям оператора p€x :
                                               ip
                                                  x
                                          −1 2 
                         ψp   (x) = (2π)     e ;                  (p x ≡p ) .
                                       ∞
                         ψ (x) = ∫c(p) ψ p∗(x) dp ,
                                    −∞
где искомые коэффициенты c(p) имеют вид:
                                               ∞
                                   −1 2                  2 2a2 + i (k −k) x
                  c (p) =(2π)              A ∫ e−x                  0         dx ; (k =p  ) .
                                               −∞
Дополняя выражение в показателе экспоненты до полного квадрата, полу-
чим:
                                        ∞
                 −1 2 −a2 (k0 −k)2/2      −[ x −i (k −k) a     2]2 2a2                         2 (k −k)2/ 2
c (p) =A (2π)       e                 ∫e           0                    dx =A a −1 2e −a         0        .
                                       −∞
(заметим, что несмотря на конечный сдвиг в мнимую область, интеграл пред-
ставляет собой интеграл Пуассона).
                        2     A 2 −a2 (k −p  )2
     Величина | c (p) | dp =      e     0        dp есть вероятность обнаружить
                              2π
у частицы импульс в интервале
[p, p+dp]. | c (p)|2 графически так-
же может быть представлена в ви-
де распределения Гаусса с цен-                     | c(p) |2
тром в точке p =k 0 . Полуширина
этого распределения δp =1 a, т.е.
обратная δx , что непосредственно
                                             0                             p
связано с соотношением неопре-                              k 0 δp