Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
Пример 1. Система находится в состоянии, которое описывается волновой
функцией
3i
()Aecos (2)
ϕ
ψϕ=ϕ
. Определить , какие значения
z
L
и с какой
вероятностью будут появляться при измерении. Определить также
22
z
zz
L, (L) и L
<><><>
.
Решение . При нахождении возможных значений
z
L
, а также вероятности их
появления на эксперименте , можно воспользоваться общим рецептом, рас-
считав интегралы :
2
mm
0
a () () d
π
∗
∫
,
где
12im
m
()(2)e
ϕ
−
ψϕ=π — собственные функции оператора
z
€
L
. Тогда вели -
чины
2
m
|a| дадут искомые вероятности .
Однако в данном случае можно воспользоваться более простым спосо -
бом. Представим функцию
()
ψϕ
в виде ряда :
mm
m
()a()
ψϕ=ψϕ
∑
,
что всегда можно сделать , учитывая свойство полноты набора собственных
функций оператора
z
€
L
. Для
)
(2
cos
ϕ
воспользуемся формулой Эйлера в ви -
де
2i2i
( ee) / 2
ϕϕ
−
+ . Тогда
125ii
1212
A(2)ee
()
2
(2)(2)
ϕϕ

π
ψϕ=+

ππ

.
Видно , что в разложении присутствуют только два ненулевых коэффициента
12
m15
a: aaA(2)2
==π . Следовательно , в эксперименте будут появляться
значения
z
L
и 5
=
hh
с равными вероятностями
2
A2
π
.
Для определения нормировочной константы A существуют две воз-
можности . Первая — вычислить по общим правилам интеграл:
2
0
() () d1 ,
π
∗
ψϕψϕϕ=
∫
вторая — воспользоваться условием
2
m
m
|a|1
=
∑
, что в данном случае проще.
Получаем
212
A1, A
−
π==π
и, следовательно ,
15
aa1/2
== .
При вычислении
z
L
<>
воспользуемся формулой:
2
zm
m
11
L|a|(m)53 ,
22
<>==+=
∑
hhhh
тогда
22
z
L9 .
<>=
h
Аналогично для
2
z
L
<>
: 
                                               14

Пример 1. Система находится в состоянии, которое описывается волновой
                      ϕ
функцией ψ (ϕ) =A e 3i cos (2ϕ) . Определить, какие значения Lz и с какой
вероятностью будут появляться при измерении. Определить также
, (  ) 2 и  .
Решение. При нахождении возможных значений Lz , а также вероятности их
появления на эксперименте, можно воспользоваться общим рецептом, рас-
считав интегралы:
                                   2π
                           a m = ∫ψ (ϕ) ψ m∗ (ϕ) dϕ ,
                                       0
                    −1 2 imϕ
где ψ m (ϕ) =(2π)      e       — собственные функции оператора L€z . Тогда вели-
чины | a m | 2 дадут искомые вероятности.
    Однако в данном случае можно воспользоваться более простым спосо-
бом. Представим функцию ψ (ϕ) в виде ряда:
                           ψ (ϕ) =∑ a m ψ m (ϕ) ,
                                           m
что всегда можно сделать, учитывая свойство полноты набора собственных
функций оператора L€z . Для cos (2ϕ) воспользуемся формулой Эйлера в ви-
       ϕ      ϕ
де ( e2i +e−2i ) / 2 . Тогда
                                                ϕ       ϕ
                              A(2π)1 2 � e5i          ei �
                     ψ (ϕ) =            �       12
                                                   +     1 �2
                                                              .
                                 2        � (2π)    (2π )  �
Видно, что в разложении присутствуют только два ненулевых коэффициента
a m : a1 =a 5 =A(2π)1 2 2 . Следовательно, в эксперименте будут появляться
значения Lz = и 5 с равными вероятностями A 2 π 2 .
    Для определения нормировочной константы A существуют две воз-
можности. Первая — вычислить по общим правилам интеграл:
                                  2π
                                           ∗
                                   ∫ψ      (ϕ) ψ (ϕ) dϕ =1 ,
                                   0
вторая — воспользоваться условием               ∑ | a m |2 =1 , что в данном случае проще.
                                                m
              2                 −1 2
Получаем πA =1, A =π      и, следовательно, a1 =a5 =1/ 2 .
   При вычислении  воспользуемся формулой:
                                          1    1
                 =∑ | a m | 2 (m ) = 5 +  =3 ,
                          m               2    2
тогда 2 =9 2 .
    Аналогично для :

Страницы