Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 12 стр.

                                                   12

Общее решение есть:
                         ψ px (x) =C ei px x  .
Стандартные условия не накладывают никаких ограничений на область соб-
ственных значений. Таким образом, спектр оператора p€x непрерывный. Оп-
ределим нормировочную постоянную:
      ∞                                   ∞
                                               −i x (p −p′ )/                 � p −p� ′
       ∫   ψ *p (x) ψ p (x) dx             ∫                                         � =δ(p −p′) .
                                      2                              2
                                 =C          e                 dx =C   2 πδ�
      −∞                                  −∞                                 �       �

С учетом известных свойств δ-функции C =(2π )−1 2 .
Окончательно, собственные функции:
                                            ψ p (x) =(2π) −1 2eipx   
                                                                          .
Спектр оператора — все действительные числа. Собственные функции удов-
летворяют свойству полноты:
                                  ∞

                                  ∫ψ p (x) ψ p (x) dp =δ(x −x′) .
                                            *

                                  −∞
Следует отметить, что для формально похожих по виду операторов
( p€x и L€z ) получились различные результаты, что обусловлено отличием в
областях определения этих операторов.

                     Задачи для самостоятельного решения
  1. Найти собственные функции и собственные значения операторов:
                            d                 d         d2 2 d
       а) x +d dx ; б) sin    ; в) exp ( i a    ) ; г)     +     ;
                           dϕ                dϕ        dx 2 x dx
     ( ψ =C exp (λx −x 2 2) ; спектр непрерывный ;
     ψ =eimϕ , λ =sin (im) ; ψ =eimϕ , λ =a −nm ; ψ (x) =C sin (βx) x ,
     β — любое вещественное число).
                                  ∧                                               ∧      ∧
                                                                                   2
  2. Эрмитов оператор F удовлетворяет соотношению F =c F , где c —
     вещественное число. Каковы собственные значения этого оператора?
  3. Доказать, что собственная функция ψ (x) =c exp ( −x 2 2 ) является
                                                         ∧
     собственной функцией оператора L =−d 2 dx 2 +x 2 и найти соответст-
     вующее собственное значение.
  4. Найти собственные функции и собственные значения оператора
     L€ = p€x + x ( ψ =C exp ( [ −i ( x −f) (2 ) ] , f — произвольное веществен-
     ное число).