Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 18 стр.

                                        18
                                                       ∧   ∧
        € = FG
     € G]
где [F,     € € −GF
                 € € — коммутатор операторов F и G .
     Известно, что коммутатор операторов физических величин в классиче-
ском пределе должен обращаться в нуль, а потому величина его должна быть
пропорциональна  . Поэтому правая часть (13) пропорциональна  2 . В ча-
стности, для оператора компоненты импульса и соответствующей координа-
ты, например, p x и x,
                                ∧
                               [ p x , x ] =−i
и соотношение неопределенностей для этих величин имеет вид (в этом част-
ном случае оно называется соотношением неопределенностей Гейзенберга):
                           <(∆p x ) 2 ><(∆x) 2 >≥ 2 4 .                      (14)
Оно означает, что для состояния, в котором частица локализована в области
пространства ∆x , возможный разброс значений ее импульса (около среднего
значения) заключен в области ∆p x , определяемой соотношением:
                                  ∆p x ≥ / ∆x .
Соответственно монохроматическая волна с определенным значением им-
пульса (∆p x → 0 ) должна заполнять все пространство ( ∆x → ∞ ) .
    Соотношение неопределенностей можно использовать для оценки сред-
него значения кинетической энергии частицы, движущейся в ограниченной
области пространства. В этом случае можно положить =
=0 , тогда
(∆x) 2 =x 2 и (∆p) 2 =p 2 . Если a — линейный размер объема, в котором ло-
кализована частица, то с учетом (14) получаем:
                                           2
                            =         =      .
                                         2m    8ma 2
    При использовании соотношения неопределенностей (13) важно пом-
                                             ∧     ∧
нить, что самосопряженные операторы F и G должны быть определены на
одном и том же множестве функций.
    Рассмотрим примеры.
Пример 1.     Для   частицы,        состояние      которой     задается   функцией
      =A e−x 2a + i k0 ,
            2  2      x
ψ (x)                      проверить соотношение неопределенностей для ве-
личин x и p x .
Решение. Запишем соотношение неопределенностей для координаты и им-
пульса: <(∆x) 2 ><(∆px ) 2 >≥2 4 .

При этом <(∆x) 2>=<(x − )2 >= и