Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 20 стр.

                                     20

     3. Микрочастица массы m находится в одномерной потенциальной яме с
        бесконечно высокими стенками шириной L. Оцените минимально воз-
        можную энергию частицы, если ∆x ∆p x ≥π . ( π2 2 / (2mL2 ) ).

5. Дифференцирование операторов по времени. Интегралы движения
                    в квантовой механике
     Среднее значение физической величины является в общем случае функ-
цией времени. Производная среднего значения  по времени является
средним значением некоторого оператора, который по определению называ-
ется производной физической величины по времени:
                           d      dF
                                  = < >,
                             dt       dt
                             ∧   ∧
                            dF ∂F 1 ∧ ∧
где                            = + [ F, H ] .                       (15)
                            d t ∂ t i

             ∧ ∧   ∧ ∧
Оператор ( F H −H F ) / i называется квантовой скобкой Пуассона.
                     ∧
    Если оператор F физической величины F не зависит явно от времени и
коммутирует с гамильтонианом, то согласно (15) ее среднее значение не ме-
няется со временем, т.е. F является интегралом движения.
    Существование интегралов движения тесно связано с симметрией га-
мильтониана. Действительно, если гамильтониан инвариантен относительно
                                                         ∧
некоторого преобразования, осуществляемого оператором F, то при условии
 ∧
∂ F / ∂ t =0 физическая величина F будет интегралом движения.
      Из (15) следует сохранение энергии для замкнутых систем (так как в
               ∧
этом случае ∂ H / ∂ t =0 , и гамильтониан коммутирует сам с собой).
     Если гамильтониан системы не меняется при сдвиге вдоль какого-либо
направления или поворота вокруг какой-либо определенной оси, то будут со-
храняться соответственно проекция импульса на это направление или проек-
ция момента количества движения на выделенную ось.
     Законы сохранения возникают не только для непрерывных симметрий
гамильтониана. Наличие у гамильтониана дискретных симметрий приводит
в квантовой механике к сохранению ряда мультипликативных физических
величин, которые (в отличие от аддитивных импульса и момента количества
движения) не имеют аналога в классической механике. Так, инвариантность
гамильтониана относительно преобразования пространственной инверсии
      
( r → −r ) приводит к сохранению четности волновой функции относительно
такой замены координат.
      Рассмотрим примеры.