Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 22 стр.

                                        22

Тогда
                                
                     d  € p€2        
                        ( r p) = −r ∇ U ( r ) .
                     dt         m                  
Учитывая вид потенциальной энергии, рассчитаем ∇ U ( r ) . Вычисления
проведем в сферической системе координат:
 �   ∂  1 ∂                   1     ∂ �                        
    �  ∇ =e r    +e θ      + eϕ              � ; r ∇ U (r) =nα r n −1er r =nα r n =nU .
  �           ∂r      r ∂θ      r sinϕ ∂ϕ �
                                    
                           d  € p€2
        Таким образом, (r p) = −nU .
                          dt        m
        Усредним это равенство по произвольному стационарному состоянию
                                         
              −iEt      d  €        p€2
ψ(r,t) =ϕ(r) e         : < (r p) > =< >−n  .
                          dt              m
В соответствии с определением полной производной физической величины
по времени получим:
                         d  €       
                       < (r p)  >= d /dt ;
                         dt
так как речь идет о стационарных состояниях, то очевидно:
                d  €      d             €  −iEt  3
                   = ∫ϕ (r) eiEt  (r p) ϕ(r) e  d r =0 .
                dt          dt
                                                            
                                                           p€2
И окончательно получаем 2 =n , где учтено, что         =2T€ .
                                                            m

                   Задачи для самостоятельного решения
1. Найти, какие из механических величин или их комбинации (энергия, про-
   екции и квадрат момента количества движения, проекции импульса, чет-
   ность) сохраняются при движении бесспиновых заряженных частиц в
   следующих полях:
   1) при свободном движении;
   2) в поле бесконечного однородного цилиндра с осью z;
   3) в поле бесконечно однородной плоскости (x, y);
   4) в поле однородного шара;
   5) в поле бесконечной однородной полуплоскости (x, z), z >0 ;
   6) в поле двух точечных зарядов;
   7) в однородном переменном поле;
   8) в поле равномерно заряженного прямого провода с переменным заря-
       дом;
   9) в поле однородного трехосного эллипсоида;
   10) в поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии;
       ( E, L z +ap z 2 π ; a — шаг винта);