Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 23 стр.

                                       23

   11) в поле однородного конуса;
   12) в поле кругового тора;
   13) в поле U (z,t) =a (t) z .
2. Показать, что если физические величины f1, f 2 (соответствующие опера-
         ∧      ∧
   торы f1 и f 2 )   являются       интегралами    движения,     то   операторам
    ∧∧    ∧ ∧        ∧∧    ∧∧
    f1 f 2 +f 2 f1 и i ( f1 f 2 −f 2 f1 ) соответствуют физические величины, являю-
   щиеся интегралами движения.

                          6. Уравнение Шредингера
    Уравнение наименьшего порядка, которому удовлетворяет волновая
функция, описывающая свободное движение, имеет вид:
                            
                       ∂ ψ (r, t) ∧      
                    i           =H 0 ψ (r, t) ,              (16)
                          ∂t
                    � i  �      ∧    €2          2
где ψ (r, t) =A exp � (pr −Et)�� ; H 0 =p   /2m ; E =p  /2m .
                      � 
    В квантовой механике постулируется, что зависимость волновой функ-
ции от времени для произвольного движения частицы (системы) описывается
                                ∧
уравнением (16) с заменой H 0 на гамильтониан, соответствующий этому
движению.
    Таким образом, основное уравнение квантовой механики (уравнение
Шредингера) имеет вид:
                           
                      ∂ ψ (r, t) ∧    
                   i           =H ψ (r, t) ,                  (17)
                         ∂t
    ∧                     
где H =p€2 /2m + U(r,t) ; U(r , t) — потенциальная энергия системы (частицы).
    Решение уравнения Шредингера должно удовлетворять стандартным ус-
ловиям. При этом требование непрерывности сохраняется и в тех случаях,
                    
когда само поле U(r , t) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности
должны оставаться непрерывными как сама функция, так и ее первая произ-
водная по координате.
                                            ∧
       В том случае, когда гамильтониан H не зависит явно от времени, т.е.
   ∧                                       
∂ H / ∂ t =0 , и, следовательно, U =U( r ) — потенциальная энергия системы
(частицы), уравнение Шредингера (17) допускает решение с разделенными
переменными:
                                       
                           ψ (r, t) =ψ (r) ϕ(t) .
В результате (17) распадается на два уравнения: