Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 24 стр.

                                     24
                              
                           € (r)      
                           Hψ    =Eψ (r) ;                                (18)
                   ∂ϕ                         � i �
              i      =Eϕ (t) ;   ϕ (t) =exp � − Et� .                   (19)
                   ∂t                          �  �
Уравнение (18) представляет собой уравнение на собственные функции и
собственные значения оператора полной энергии H     € , следовательно, состоя-
ния, удовлетворяющие уравнению (18), имеют определенную энергию. Такие
состояния называются стационарными, а уравнение (18) называют стацио-
нарным уравнением Шредингера.
     Волновая функция стационарного состояния есть:
                                      
                             ψ(r,t) =ψ(r) e−iEt/ .
Перечислим особенности стационарных состояний:
    - зависимость волновых функций стационарных состояний от времени
       однозначно определяется значением энергии в этом состоянии;
    - плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от
       времени;
    - среднее значение любой физической величины, оператор которой явно
       не зависит от времени, является постоянным;
    - вероятность обнаружить определенное значение физической величины
       не зависит от времени.
     Плотность тока вероятности.
     Из уравнения Шредингера (17) с гамильтонианом
                           ∧      2 2
                           H =− ∇ +U (x, y, z, t)
                                  2m
следует уравнение непрерывности:
                                    ∂ρ       
                                       +divj =0 ,
                                    ∂t
где ρ — плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатами
(x, y, z) в момент времени t, а вектор
                                 i             
                            j =− (ψ∗∇ ψ −ψ∇ ψ ∗)
                                  2m
по своему смыслу представляет собой плотность тока вероятности. Таким
образом, вероятность   частице   пройти за единицу времени через площадку
                               
Δσ равна dW dt =( j n) Δσ ( n — единичный вектор нормали к Δσ ).
     Если волновая функция представлена в виде
                                          
                             ψ =A(r,t) eiϕ(r,t) ,
где A и ϕ — действительные функции, то
                              
                         j =ρ ∇ϕ ,
                              m