Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
и отличный от нуля ток вероятности существует только в том случае, если
волновая функция имеет зависящую от координат фазу (если
ψ
— действи -
тельна , т.е .
0
ϕ=
то j
r
= 0 также ).
Пример 1. Решить стационарное уравнение Шредингера для частицы массы
m, движущейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с беско -
нечно высокими стенками .
Решение . Потенциальная энергия име -
ет вид:
0,
если 0x ;
U (x)
,
если x, x0 .
l
l
<<
=
∞≥≤
Частица не может проникать в область
с бесконечной потенциальной энерги -
ей, из чего следует, что в области
0
x
и
l
x
волновая функция тождест-
венно равна нулю , что непосредственно следует из физического смысла
квадрата модуля волновой функции. Требование непрерывности волновой
функции во всей области приводит к условию
ψ (0) ψ ()0 .
l
==
Уравнение
Шредингера в области
l
<
<
x
0
имеет вид:
()
22
2
d
ψ (x)Eψx
2m
dx
−=
h
.
Введем обозначение :
22
k2mE /,
=
h
тогда это уравнение примет вид:
2
2
2
d ψ
k
ψ 0.
dx
+=
Решение этого уравнения можно представить как линейную комбинацию
экспонент или в виде комбинации синусов и косинусов. В том случае, когда
движение происходит в ограниченной области пространства (финитное дви -
жение ), удобнее пользоваться следующим представлением:
ψ (x)Asin (kx)Bcos (kx) ;
=+
граничное условие
0
ψ (0)
=
приводит к тому, что B = 0. Из условия
ψ ()Asin (k)0
ll
==
следует
k
π n
l
=
, где n = 1, 2, 3… . Следует отметить , что
значения A = 0 или n = 0 тождественно обращают волновую функцию в
нуль во всей области , что соответствует случаю отсутствия частицы . С уче-
том введенного обозначения энергетический спектр принимает вид:
2222
n
En
π /(2m) .
l= h
Видно , что совокупность собственных значений образует дискретный
спектр , и это позволяет нам нормировать волновую функцию на 1:
22
0
|A|sin(n
πx)dx1,
l
l
=
∫
отсюда
12
A(2)
l
= ,
и нормированная волновая функция принимает вид:
0
l
x
U(x)
                                                25

и отличный от нуля ток вероятности существует только в том случае, если
волновая функция имеет зависящую от координат фазу (если ψ — действи-
                     
тельна, т.е. ϕ =0 то j = 0 также).
Пример 1. Решить стационарное уравнение Шредингера для частицы массы
m, движущейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с беско-
нечно высокими стенками.
Решение. Потенциальная энергия име-
ет вид:                                                      U(x)

        � 0, если 0 l волновая функция тождест-
венно равна нулю, что непосредственно следует из физического смысла
квадрата модуля волновой функции. Требование непрерывности волновой
функции во всей области приводит к условию ψ(0) =ψ(l ) =0 . Уравнение
Шредингера в области 0

Страницы