Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
Графическое изображение правой и левой частей этого уравнения представ-
лено на рисунке . В зависимости от величины p, которая определяется пара-
метрами ямы
l
и
0
U
(ширина и глубина ), получаем различное количество
решений. В случае , когда 2πp
<
, связанного состояния не существует. Если
23 πp2 π
<
<
, существует только одно связанное состояние . Таким образом
с увеличением параметра p количество связанных состояний растет.
Пример 3. Частица , двигаясь в положительном направлении оси x, падает на
потенциальный порог:
0
0
при x0
V (x) ;
V
при x0
<
=
>
Рассмотрев случаи
0
EV
и
0
VE
<
, найти коэффициенты
прохождения D и отражения R
частиц.
Решение . Так как V (x) имеет
скачок конечной величины в точ-
ке x = 0, то , обозначив область
0
x
<
как область 1, а область
0
x
>
как область 2, составим и решим урав-
нение Шредингера для этих областей и сошьем эти решения, т.е . приравняем
в точке разрыва потенциала функции и их первые производные.
Рассмотрим случай
0
VE
>
.
В области 1 движение частицы описывается уравнением:
2
2
1
11
2
dψ(x)
k
ψ (x)0
dx
+=
, где
22
1
k2mE/;
=
h
его решение имеет вид:
i kxi kx
2
1
112
(x)CeCe.
−
ψ=+
Аналогичное уравнение получаем для области 2:
2
2
2
22
2
dψ(x)
k
ψ (x)0,
dx
+= где
2
2
20
k2m ( EV)/
=−
h
.
Его решение будет:
i kxi kx
2
2
234
ψ (x)CeCe.
−
=+
Следует заметить , что полная
энергия частицы при переходе из области 1 в область 2 сохраняется.
Условия сшивания дают:
122
1
ψ(0) ψ (0) ; ψ '(0) ψ
'(0);
==
1234
CCCC ;
+=+
112234
ik( CC)ik(CC) ;
−=−
Проанализируем слагаемые, входящие в
12
ψ и
ψ
.
x
i k
1
1
Ce — описывает частицы , которые движутся в положительном на -
правлении оси x, т.е . падающие частицы ;
x
i k
1
2
Ce
−
— соответствует отра-
женным частицам, движущимся в обратном направлении;
x
i k
2
3
Ce —
x
V
0
E
0
V(x)
1
2
                                              27

Графическое изображение правой и левой частей этого уравнения представ-
лено на рисунке. В зависимости от величины p, которая определяется пара-
метрами ямы l и U 0 (ширина и глубина), получаем различное количество
решений. В случае, когда p <π 2 , связанного состояния не существует. Если
π 2 
0
Рассмотрев случаи E >V0 и
E 0 как область 2, составим и решим урав-
нение Шредингера для этих областей и сошьем эти решения, т.е. приравняем
в точке разрыва потенциала функции и их первые производные.
    Рассмотрим случай E >V0 .
В области 1 движение частицы описывается уравнением:
d 2 ψ1 (x)
       2
              +k12 ψ1 (x) =0 , где k 21 =2mE/  2 ;
  dx
его решение имеет вид: ψ1 (x) =C1ei k1x +C2 e−i k2x .
Аналогичное уравнение получаем для области 2:
d 2 ψ 2 (x)
       2
              +k 22 ψ 2 (x) =0 , где k 22 = 2m ( E −V0 ) / 2 .
  dx
Его решение будет: ψ 2 (x) =C3ei k2x +C4e −i k2x . Следует заметить, что полная
энергия частицы при переходе из области 1 в область 2 сохраняется.
Условия сшивания дают:
                    ψ1 (0) =ψ 2 (0) ;              ψ1'(0) = ψ 2' (0) ;
                    C1 +C 2 =C3 +C 4 ;             ik1 ( C1 −C2 ) =ik 2 (C3 −C4 ) ;
Проанализируем слагаемые, входящие в ψ1 и ψ 2 .
                x
       C1ei k1 — описывает частицы, которые движутся в положительном на-
правлении оси x, т.е. падающие частицы; C2e−i k1 — соответствует отра-
                                                                  x

                                                                                       x
женным частицам, движущимся в обратном направлении;                               C3ei k2 —

Страницы