Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
22kx
2
W (x)|ψ(x)|e
−
=≈
, т.е .
eff
12.
k
=
l
Линейный гармонический осциллятор
Рассмотрим одну из важных задач квантовой механики — задачу о ли -
нейном гармоническом осцилляторе. В этом случае частица движется в поле
22
xω m
2
1
(x) U = (m — масса частицы ,
ω
— частота ) и стационарное уравне -
ние Шредингера допускает точное решение .
Решение классического уравнения движения частицы в этом случае име -
ет вид:
x (t)a cos (t)
=ω+ϕ
.
Соответствующая система называется гармоническим осциллятором, а ста -
ционарное уравнение Шредингера, описывающее одномерное движение
квантовой частицы , имеет вид:
222
2
2
dmω
x
ψ(x)Eψ (x) .
2m2
dx

−+=

h
Требования конечности волновой функции и обращения ее в нуль при
→±∞
приводят к квантованию энергии. В результате энергетический
спектр принимает вид:
n
E
ω (n12 ) ; n0, 1, 2
=+=
hK
,
а соответствующие собственные функции есть :
()
2
ξ / 2
n12
nn
ψ (x)[n! 2 π ]Hξ ;
−
−
=
где
12
00
ξ xx ; x(mω);
==h
(
)
n
H
ξ
— полином Эрмита .
Инвариантность гамильтониана относительно преобразования простран-
ственной инверсии приводит к тому, что волновые функции стационарных
состояний обладают определенной четностью — четным n соответствуют
четные состояния, а нечетным — нечетные состояния. Действительно , на -
пример,
(
)
(
)
(
)
2
012
H
ξ 1 ; H ξ 2ξ ; H ξ 4ξ 2
===−
,
а в общем случае
()()()
n
nn
ψ x1ψx
−=− .
Для полиномов Эрмита существует простое рекуррентное соотношение :
()() ()
nn1n1
1
ξH ξ nH ξ H ξ
2
−+
=+ .
Следует подчеркнуть , что минимальная энергия гармонического осцил-
лятора (энергия основного состояния) отлична от нуля
0
(E
ω 2)
=
h , в то вре-
мя как по классической теории она равна нулю . 
                                      29

                 W (x) =|ψ 2 (x)|2 ≈e−2k x , т.е.  eff =1 2 k .
    Линейный гармонический осциллятор
     Рассмотрим одну из важных задач квантовой механики — задачу о ли-
нейном гармоническом осцилляторе. В этом случае частица движется в поле
        1
U (x) = m ω 2 x 2 (m — масса частицы, ω — частота) и стационарное уравне-
        2
ние Шредингера допускает точное решение.
     Решение классического уравнения движения частицы в этом случае име-
ет вид:
                          x (t) =a cos (ωt +ϕ) .
Соответствующая система называется гармоническим осциллятором, а ста-
ционарное уравнение Шредингера, описывающее одномерное движение
квантовой частицы, имеет вид:
                           ��   2 d 2 mω2 � 2 �
                           � −        2
                                        +   x� ψ(x) =E ψ (x) .
                            � 2m dx       2      �
Требования конечности волновой функции и обращения ее в нуль при
x → ±∞ приводят к квантованию энергии. В результате энергетический
спектр принимает вид:
                      E n =ω (n +1 2 ) ; n =0, 1, 2  ,
а соответствующие собственные функции есть:
                                                          −ξ2/ 2
                         ψ n (x) =[n! 2 n π ]−1 2 H n (ξ )         ;

где ξ =x x 0 ; x 0 =(  mω )1 2 ; H n (ξ ) — полином Эрмита.
    Инвариантность гамильтониана относительно преобразования простран-
ственной инверсии приводит к тому, что волновые функции стационарных
состояний обладают определенной четностью — четным n соответствуют
четные состояния, а нечетным — нечетные состояния. Действительно, на-
пример,
                      H 0 (ξ ) =1 ; H1 (ξ ) =2ξ ; H 2 (ξ ) =4ξ 2 −2 ,

а в общем случае ψ n ( −x ) =(−1) ψ n ( x ) .
                                 n

     Для полиномов Эрмита существует простое рекуррентное соотношение:
                                              1
                     ξH n (ξ ) =nH n −1 (ξ ) + H n +1 (ξ ) .
                                              2
    Следует подчеркнуть, что минимальная энергия гармонического осцил-
лятора (энергия основного состояния) отлична от нуля (E 0 =ω 2 ) , в то вре-
мя как по классической теории она равна нулю.

Страницы