Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 30 стр.

                                      30

    Легко показать, что средние значения координаты и импульса в любом
стационарном состоянии гармонического осциллятора равны нулю. Действи-
тельно, в силу четности выражения ψ*n xψ n =xψ2n ,
                               ∞
                        = ∫ ψ*n x ψ n dx =0
                              −∞
и <(∆x) >=− =;
       2      2           2

аналогично, используя граничные условия на бесконечности, получим:
                               ∞                              ∞
                                dψ      1
                  
=−i ∫ ψ n n dx =− i  |ψ|2    =0 ;
                          −∞
                                 dx     2         −∞
т.е. <( ∆p) 2 >=
 .
     Покажем, что появление в теории Шредингера нулевой энергии тесным
образом связано с соотношением неопределенностей, которое в нашем слу-
чае имеет вид:
                         ≥ 2 4 .                        (20)
Полная энергия равна:
                              
 mω 2
                      E ==      +     .
                               2m     2
Используя (20), получаем:
                             2      mω 2 
                        E≥          +            .                   (21)
                          8m        2
Отсюда видно, что ни при каких значениях  энергия не обращается в
нуль. Приравнивая нулю производную по  от правой части (21), най-
дем значение , при котором достигается минимум E: = 2mω ;
тогда
               E ≥ω 4 +ω 4 =ω 2 ; т.е. E min =ω 2 =E0 .
Существование конечной нулевой энергии у гармонического осциллятора
является одним из наиболее характерных проявлений волновых свойств час-
тиц. Нулевая энергия E 0 была обнаружена экспериментально в опытах по
рассеянию рентгеновского излучения в кристаллах при низких температурах.
Пример 4. Для одномерного гармонического осциллятора, полная энергия
которого равна 7ω/2 , вычислить среднюю кинетическую энергию.
Решение. Решать эту задачу можно, используя обычную формулу для вычис-
ления среднего значения физической величины:
                                            ∧2
                                             p
                        =∫     ψn∗(x)      ψ n (x) dx ,
                                            2m