Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
но для этого необходимо знать волновую функцию возбужденного состояния
осциллятора. Использование теоремы о вириале позволяет значительно упро-
стить решение . Зная спектр осциллятора ), ) 21n ( ωE (
+
=
h видим, что сис-
тема находится в стационарном состоянии с n = 3. Учитывая вид потенци-
альной энергии —
,2xm ω(x) U
22
=
получаем соотношение :
TU.
<>=<>
Полная энергия системы
ETU
=+
, где
ω
2
7
E h=
. Таким образом, имеем
систему из двух уравнений:
TU ;
<>=<>
72
ω TU.
h
Отсюда находим:
ω
4
7
T h=><
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать , что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее
значение проекции импульса равно нулю .
2. Гамильтониан заряженной частицы , движущейся в магнитном поле ,
имеет вид:
22
e
c
€
€
H( pA)/2m
=−
r
r
, где
A
r
— оператор вектор-потенциала
магнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор
v
r
скорости частицы в магнитном поле и правила коммутации операторов
различных компонент скорости между собой.
3. Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме вычислить
среднюю силу, с которой частица действует на каждую из стенок ямы в
основном состоянии.
223
( F/(m) )
l
=π h .
4. Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной час-
тицы , движущейся с импульсом p в положительном направлении оси x.
5. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического ос-
циллятора с частотой
ω
в стационарных состояниях:
а )
22
(x)Aexp (ax) ;
ψ=− б)
22
(x)Bxexp (ax)
ψ=−, где a, A, B —
постоянные
( E2 ; E32 ).
=ω=ω
hh
6. Частица с массой m и энергией E падает на прямоугольный потенци-
альный барьер
0
U (x)U
=
при
0xa
<<
, и U(x) = 0 при
x0
<
и
xa.
>
Найти коэффициент прохождения D и коэффициент отражения R для
случаев
0
EU
>
и
0
EU.
<
1
2
2
00
0
Usinka
D1;
4E ( EU)
−

=+

−


12
0
0
22
0
0
4E ( EU)
R1; k[2m (EU)]/.
Usinka

−
=+=−


h
7. Частица находится в основном состоянии
22
(x)Aexp (x/2)
ψ=−α в од-
номерном потенциальном поле
2
U (x)kx/2.
=
Определить вероятность
пребывания частицы вне классических границ поля.
( W0,049).
=
                                            31

но для этого необходимо знать волновую функцию возбужденного состояния
осциллятора. Использование теоремы о вириале позволяет значительно упро-
стить решение. Зная спектр осциллятора ( E =ω ( n +1 2 ) ), видим, что сис-
тема находится в стационарном состоянии с n = 3. Учитывая вид потенци-
альной энергии — U (x) =mω 2 x 2 2 , получаем соотношение: =.
                                               7
Полная энергия системы E = T + U , где E = ω . Таким образом, имеем
                                               2
систему из двух уравнений:
                = ;              7 2 ω =+.
                        7
Отсюда находим: = ω .
                        4

                   Задачи для самостоятельного решения
  1. Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее
     значение проекции импульса равно нулю.
  2. Гамильтониан заряженной частицы, движущейся в магнитном поле,
                                              
     имеет вид: H € =( p€2 −e A) 2 / 2m , где A — оператор вектор-потенциала
                             c                                                   
     магнитного поля, являющийся функцией координат. Найти оператор v
     скорости частицы в магнитном поле и правила коммутации операторов
     различных компонент скорости между собой.
  3. Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме вычислить
     среднюю силу, с которой частица действует на каждую из стенок ямы в
     основном состоянии. ( F =π2 2 /(m l 3 ) ) .
  4. Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной час-
     тицы, движущейся с импульсом p в положительном направлении оси x.
  5. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического ос-
     циллятора с частотой ω в стационарных состояниях:
     а) ψ (x) =A exp ( −a 2 x 2 ) ; б) ψ (x) =B x exp ( −a 2 x 2 ) , где a, A, B —
     постоянные ( E =ω 2 ; E =3 2 ω ).
  6. Частица с массой m и энергией E падает на прямоугольный потенци-
     альный барьер U (x) =U 0 при 0 a.
     Найти коэффициент прохождения D и коэффициент отражения R для
     случаев E >U 0 и E

Страницы