Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
прошедшим частицам. В то же время отраженных частиц во второй области
нет, следовательно , коэффициент
4
C0.
=
Определим коэффициенты отражения и прохождения как отношения со -
ответствующих плотностей токов:
отрпрош
падпад
|j|j
R, D.
jj
==
Рассчитаем плотности токов по формуле :
id
ψ dψ
j ψψ
2mdxdx
∗
∗

=−



h
.
Подставляя соответствующие волновые функции, получим:
1
пад 1
k
j|C|;
m
=
h
2
1
отр 2
k
j|C|;
m
=−
h
2
2
прош 3
k
j|C|.
m
=
h
Таким образом, нам для вычисления R и D необходимо найти отношения
21
C/C
и
31
C/C
, которые определим из системы :
2131
1C/CC/C ;
+=
121231
ik(1C/C)ikC/C.
−=
Отсюда сразу находим:
22
212
22
112
|C|(kk)
R;
|C|(kk)
−
==
+
12
2
12
4kk
D.
( kk)
=
+
Очевидно , что вследствие сохранения числа частиц R + D = 1.
Рассмотрим случай
0
EV
<
. В области 1 решение остается тем же , поэто -
му запишем уравнение Шредингера только для области 2:
2
2
2
2
2
d ψ (x)
k
ψ (x)0,
dx
+= где
2
2
0
k2m ( VE )/
=−
h
.
Решение будет иметь вид:
kx kx
34
ψ(x)CeCe.
−
=+
Из требования конечности волновой функции следует, что
4
C0.
=
Очевидно ,
что выражения для R и D могут быть получены путем замены
2
k
на ik
. В
результате будем иметь :
2
1
2
1
|ki|
R1 ,
|ki|
k
k
−
==
+
D0,
=
т.е . наблюдается полное отражение падающих частиц. Найдем эффективную
глубину проникновения частицы под барьер
eff
l
, т.е . расстояние от границы
барьера до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы
W (x)
уменьшается в e раз: 
                                         28

прошедшим частицам. В то же время отраженных частиц во второй области
нет, следовательно, коэффициент C4 =0.
     Определим коэффициенты отражения и прохождения как отношения со-
ответствующих плотностей токов:
                         |jотр |                jпрош
                       R=        ,         D=           .
                          jпад                   jпад
Рассчитаем плотности токов по формуле:
                             i � dψ∗ ∗dψ�
                          j= � ψ      −ψ � .
                            2m ��  dx   dx��
Подставляя соответствующие волновые функции, получим:
                      k               k                   k
             jпад = 1 | C1| 2 ; jотр =− 1 | C2 | 2 ; jпрош = 2 | C3 | 2 .
                       m                m                    m
Таким образом, нам для вычисления R и D необходимо найти отношения
C 2 / C1 и C3 / C1 , которые определим из системы:
             1 +C 2 / C1 =C3 / C1 ;       ik1 (1 −C 2 / C1 ) =ik 2C3 / C1 .
Отсюда сразу находим:
                   |C | 2 (k −k )2                    4k1k 2
                R = 22 = 1 2 2 ;                 D=             .
                   |C1|   (k1 +k 2 )               ( k1 +k 2 )2
Очевидно, что вследствие сохранения числа частиц R + D = 1.
    Рассмотрим случай E

Страницы