Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
12
n
ψ (x)(2)sin(nπx) .
ll
=
Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между собствен-
ными функциями и собственными значениями , энергетический спектр части -
цы невырожден.
Пример 2. Частица массы m находится в
одномерном потенциальном поле U(x),
показанном на рисунке , где
U (0)
=∞
.
Найти возможные уровни энергии час-
тицы в области
0
EU.
<
Решение . Разобьем всю область движе -
ния частицы на две :
0x
≤≤
— область
1 и
x
l
>
— область 2. Запишем уравне -
ние Шредингера в каждой из этих областей:
//222
1111
ψ (x)kψ(x)0, k2mE /;
+==
h
//22
22220
2
2m
ψ (x)kψ(x)0, k(UE) ;
−==−
h
их общие решения:
111
ψ (x)Asin (kx)Bcos (kx) ;
=+
22
xx
2
(x)CeDe
kk
−
ψ=+
должны удовлетворять стандартным условиям. Из условия
1
(0)0
ψ=
следу-
ет, что B = 0. Чтобы волновая функция оставалась всюду конечной, необхо -
димо соблюдение условия D = 0. Требование непрерывности волновой функ-
ции и ее производной по координате в точке
x
=
приводит к системе ли -
нейных однородных алгебраических уравнений для определения коэффици-
ентов A и C:
2
2
1
112
Asin (k)Ce;
Akcos (k)Ce.
kl
kl
l
lk
−
−
=
=−
Для того чтобы решение было нетривиальным, необходимо потребовать об-
ращения в нуль определителя:
2
2
1
112
sin (k) e
0
kcos (k) e
kl
kl
l
lk
−
−
−
=
.
В результате получаем трансцендентное уравнение :
112
tg (,
kl)kk
=−
решать которое будем графиче-
ски . Введем обозначения
2
2
10
2
ky, p2mU,
l
l ==
h
, после чего
это уравнение принимает вид:
2212
tg (y) y/ (py) .
=−−
0
l
x
U(x)
1
2
E
U
0
y
0
2
π
2π
3
2
π
5
2
π
                                           26

                           ψ n (x) =(2 l )1 2 sin(nπx l ) .
Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между собствен-
ными функциями и собственными значениями, энергетический спектр части-
цы невырожден.
Пример 2. Частица массы m находится в
одномерном потенциальном поле U(x),                                 U(x)
показанном на рисунке, где U (0) =∞.
Найти возможные уровни энергии час-                           E
тицы в области E l — область 2. Запишем уравне-
ние Шредингера в каждой из этих областей:
                                                                                            2m
   ψ1// (x) +k12 ψ1 (x) =0, k12 =2mE /  2 ; ψ 2// (x) −k 22 ψ 2 (x) =0, k 22 =(U 0 −E)              ;
                                                                                            2
их общие решения:
                 ψ1 (x) =A sin (k1x) +Bcos (k1x) ;          ψ 2 (x) =Ce−k2x +D ek2x
должны удовлетворять стандартным условиям. Из условия ψ1 (0) =0 следу-
ет, что B = 0. Чтобы волновая функция оставалась всюду конечной, необхо-
димо соблюдение условия D = 0. Требование непрерывности волновой функ-
ции и ее производной по координате в точке x =l приводит к системе ли-
нейных однородных алгебраических уравнений для определения коэффици-
ентов A и C:
               A sin (k1l ) =Ce−k2l ;
                A k1 cos (k1l ) =−k2 Ce−k2l .
Для того чтобы решение было нетривиальным, необходимо потребовать об-
ращения в нуль определителя:
                                     sin (k1l )    −e −k 2l
                                                                  =0 .
                                                        −k 2l
                             k1 cos (k1l ) k2 e
В результате получаем трансцендентное уравнение:
          tg (k1l) =−k1 k 2 ,
решать которое будем графиче-
ски.     Введем      обозначения
                                                        π                    3π            5π
                l2                                                 π                  2π
k1l =y, p2 =2mU0 2, , после чего                        2                     2             2
                                                                                                y
это уравнение принимает вид:                0

     tg (y) =−y/ (p2 −y2 )1 2 .

Страницы