Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 21 стр.

                                          21
                                                          
Пример 1. Составить оператор скорости v€ =d r dt и оператор ускорения
        
€ 1 dp€
a=        .
    m dt
Решение. Воспользуемся общим выражением для дифференцирования опера-
торов по времени (15). Так как H           € =p€2 / 2m +V ( r,t ) , ∂ r ∂t =0 и при этом
      
 rV −Vr =0 , то получим:
                                                                                      
 dr 1  € 1  €  €  €                                                           p€2
 dt i 
        [ ]      i
                   { [ ] [ ] [ ]}
    = r , T = i x, T + j y, T +k z, T , где r =i x + j y +kz и T =                €
                                                                                     2m
                                                                                          —

оператор кинетической энергии.
                                                         [ ]
     Достаточно рассчитать только коммутатор x€, T€ . Он был найден в при-
                             i 
мере 1 раздела 1: �� x€,T�€ =      p€x .
                         �    m
                   
                 dr 1                          1
В результате:
                 dt m
                         (                 )
                     = ip€x + jp€y +kp€z = p€ .
                                                 m
                                                                                     
     При расчете оператора ускорения учтем, что ∂ p€ /∂ t =0 и [p€2 / 2m, p€] =0 ,
                                                                              
следовательно, необходимо рассчитать коммутатор [V, p€] . Для этого
                                                         
подействуем им на произвольную функцию ϕ ( r ) :
                €                                                         
            [V, p]  ϕ (r) =−i �� V (r)∇ϕ (r) −ϕ (r)∇ V (r) �� =i (∇ V) ϕ (r) .
            
          dp€                   
Отсюда        =−∇ V =F€ , где F€ — оператор силы, действующей на частицу.
           dt
                    1
Окончательно: a = F€ .
                       m
     Заметим, что в отличие от классического соотношения между физиче-
скими величинами, полученное уравнение является операторным.
Пример 2. Доказать, что если потенциальная энергия степенным образом за-
                                          
висит от координаты ( U(r) =αr n , где r = r ), то для любого стационарного
состояния существует связь между средними значениями кинетической и по-
тенциальной энергией: 2 =n  (теорема о вириале).
Решение. Рассмотрим полную производную по времени от скалярного произ-
                   
ведения операторов r p€ . Получим:
                                               
                            d  € d r € dp€ 
                               ( r p) = p + r .
                           dt          dt      dt
В предыдущем примере было показано, что
                                          
                            d r p€        dp€      
                                 = ;          =−∇ U(r ) .
                            dt m          dt