Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 19 стр.

                                                      19

               ∧
<(∆p) 2 > =<( p −
) 2 >=+2 >=
−2 =−(k0 ) , так как =0 и 2 =k0 (см. При-
                                           2

мер 3 раздела 3). Следовательно, необходимо рассчитать  и . По
определению,
                                                          ∞
                                                               −x 2 a 2 2
                                                          ∫e
                                       2              2
                                 =A                                  x dx .
                                                          −∞
Вычислим этот интеграл методом дифференцирования по параметру α инте-
                   ∞
                            2
                   ∫e dx =(π/α ) :
                     -αx                        12
грала Пуассона
                   −∞
 ∞                  ∞                                     ∞
     −αx2 2         ∂ 2     ∂     2     ∂             π1 2α −3 2
∫e       x dx =−∫ e−αx dx =− ∫e−αx dx =− ( π α )1 2 =            .
−∞              −∞
                   ∂α       ∂α −∞
                                        ∂α                2

                                                                       ( )
                                                                           −1 4
В результате, подставив нормировку A = a 2 π                                      , найденную в указанном
примере для этой функции, получим =a 2 2.
      Рассчитаем теперь величину :
                                      ∞
                                        −x      2
                                                    / 2a 2 −ik0x   �         2 ∂ �
                                                                                   2
                                                                                          −x 2 / 2a 2 + ik0x
                                     ∫e
                        2        2
                   
=A                                          ��     −        �2� e                    dx =
                                     −∞                               �          ∂x    �
                            ∞              ��                                1�
                                                                        2
                               −x   2 a2          x     �                                   2
                   =A 2     ∫e             � � - 2 +i k� 0                − �2 dx = 2 + 2 k 20 .
                            −∞              �� � a        �                 a ��           2a
Окончательно получаем:
                                 2   a 2 2          2
                   <(∆x) ><(∆p) >=         2
                                             = 2 4 ,
                                      2 2a
что позволяет непосредственно убедиться в справедливости соотношения не-
определенностей.

                   Задачи для самостоятельного решения
     1. Оценить неопределенность скорости электрона в атоме водорода, пола-
        гая размер атома порядка 0,1 нм. Сравнить полученное значение со
        скоростью электрона на первой боровской орбите. ( ∆v ≅105 м с ).
     2. Оценить с помощью соотношения неопределенностей энергию связи
        электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее
        расстояние электрона от ядра. ( ЕСВ ≅13,6 эB; r ≅0,510−8см ).