Задачи по квантовой механике. Часть 1. Алмалиев А.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
***
12122121
dx [dx]dx=
xxx
iii
+∞
∗
−∞
∂∂∂
−ψψ=−ψψ−ψψ=ψψ
∂∂∂
∫∫∫
hhh
**
2x1
€
p dx
∞
−∞
=ψψ
∫
; здесь мы использовали равенство нулю функций
1
ψ
,
2
ψ
на
бесконечности . Таким образом, оператор
x
€
p
эрмитов.
Задачи для самостоятельного решения
1. Проверить линейность оператора комплексного сопряжения.
2. Проверить самосопряженность оператора Лапласа .
3. Показать , что сумма произвольного оператора
∧
и его сопряженного
оператора есть самосопряженный оператор.
4. Найти оператор, эрмитово сопряженный произведению двух операто -
ров
∧
и
B
∧
( BA)
∧∧
+
+
.
5. Найти оператор, эрмитово сопряженный оператору
n
n
x
∂
∂
n
n
(1)
x
n

∂
−

∂

.
6. Доказать , что если операторы
∧
и
B
∧
эрмитовы , то операторы
AB
∧∧
+
и
AB BA
∧
∧
∧∧
+
также эрмитовы .
7. Показать , что
2
[A, B] 2B
∧∧∧
=
, если
[A,B]1
∧∧
=
.
8. Показать , что произвольный оператор можно представить в виде :
FAB
i
∧∧∧
=+
, где
∧
и
B
∧
— эрмитовы операторы .
9. Оператор
F
∧
неэрмитов. В таком случае оператор
2
F
∧
будет эрмито -
вым? (эрмитова и антиэрмитова части
F
∧
коммутируют).
10. Найти коммутатор оператора x и оператора Лапласа .
( 2x )
∂∂
.
11. Вычислить коммутаторы для гамильтониана
2
€
€
H=p2mU(x)
+ :
а )
[H, x] ;
∧
б )
x
p
[H, ] ;
∧
∧
в)
2
x
p
[H, ] .
∧
∧
222
x
x
p
p
m
( ; idUdx ; 2idUdx dUdx ) .
i
∧
∧
+hhhh
12. Выразить оператор параллельного переноса
a
T(r)(ra)
∧
ψ=ψ+
r
rrr
через
функцию оператора импульса .
(
)
€
exp(iap/)
rr
h
.
13. Найти результат действия оператора
d
exp ( kx)
dx
на функцию
(x) .
ψ
( [ ( k1 ) x ] ) .
ψ+
                                                   7

         ∂                    +∞       ∂                 ∂ *
−i ∫ψ1∗ ψ 2 dx =−i [ψ1* ψ 2    −∫ψ 2 ψ1* dx] =∫ψ 2 i    ψ1 dx =
        ∂x                    −∞      ∂x                ∂x
  ∞
= ∫ψ2 p€*x ψ1* dx ; здесь мы использовали равенство нулю функций ψ1 , ψ 2 на
 −∞
бесконечности. Таким образом, оператор p€x эрмитов.

                        Задачи для самостоятельного решения
  1. Проверить линейность оператора комплексного сопряжения.
  2. Проверить самосопряженность оператора Лапласа.
                                                                                ∧
  3. Показать, что сумма произвольного оператора A и его сопряженного
     оператора есть самосопряженный оператор.
  4. Найти оператор, эрмитово сопряженный произведению двух операто-
            ∧       ∧       ∧+ ∧
                                   +
      ров A и B ( B A ) .
                                                                                     ∂n      �       ∂ n�
  5. Найти оператор, эрмитово сопряженный оператору                                          � ( −1)
                                                                                                   n
                                                                                                         �n .
                                                                                    ∂x n      �      ∂x  �
                                                       ∧       ∧                                    ∧    ∧
  6. Доказать, что если операторы A и B эрмитовы, то операторы A +B и
       ∧∧       ∧ ∧
      A B + BA также эрмитовы.
                             ∧     ∧2          ∧               ∧       ∧
  7. Показать, что [A, B ] =2 B , если [A, B ] =1 .
  8. Показать, что произвольный оператор можно представить в виде:
      ∧     ∧   ∧            ∧         ∧
      F =A +i B , где A и B — эрмитовы операторы.
                        ∧                                                           ∧
                                                                                        2
  9. Оператор F неэрмитов. В таком случае оператор F                                        будет эрмито-
                                                                       ∧
      вым? (эрмитова и антиэрмитова части F коммутируют).
  10. Найти коммутатор оператора x и оператора Лапласа. ( 2∂ ∂x ) .
  11. Вычислить коммутаторы для гамильтониана H € = p€2 2m +U(x) :
                ∧                  ∧       ∧               ∧       ∧
                                              2
            а) [H, x] ; б) [H, px ] ; в) [H, p x ] .
                ∧                                          ∧
         ( i p x m ; i dU dx ; 2i px dU dx + 2 d 2 U dx 2 ) .
                                                     ∧            
  12. Выразить оператор параллельного переноса Ta ψ (r ) =ψ ( r +a ) через
                                          
      функцию оператора импульса. exp (i a p€ / ) .   (                   )
                                                                                d
  13. Найти результат действия оператора exp ( kx                                 ) на функцию ψ (x) .
                                                                               dx
      ( ψ [ ( k +1 ) x ] ) .

Страницы