Компьютерное моделирование. Лабораторный практикум. Алтаев А.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

49
• гиперболическая
x
b
by
1
0
+=
;
• степенная
1
0
b
xby ⋅=
;
• показательные:
xbb
y
10
10
+
= и
x
bby
10
⋅= ;
• экспоненциальные:
xbb
ey
10
+
= и
xb
eby
1
0
⋅=
;
• логарифмические:
xbby lg
10
+
=
и
xbby nl
10
+
=
;
• параболическая
2
210
xbxbby ++= .
Таким образом, результатом проведенных
экспериментов является таблица значений x
i
и y
i
. Далее
выбирается аналитический вид функции y(x). На
следующем этапе вычисляются параметры b
j
выбранной
функции, которая бы с минимальной погрешностью
приближалась бы к исходной функции y
i
(x
i
).Для
определения b
j
используется метод наименьших
квадратов
(МНК), основная цель которого состоит в
минимизации функции среднеквадратичного отклонения:
()
min
)(
1
2
→
−
=
∑
=
n
xy
Z
n
i
ii
ψ
(5.1)
Если бы в качестве аналитической функции была бы
выбрана линейная зависимость, то функция Z будет иметь
вид:
()
n
xbby
Z
n
i
ii
∑
=
−−
=
1
2
10
Итак, весь процесс сводится к нахождению таких
значений коэффициентов b
0
, b
1
, которые давали бы
50
минимальное расхождение между расчетными и
измеренными значениями y.
Имеется другой вариант функции (5.1)
min
)(
)(
1
1
2
→
−
=
∑
=
n
i
i
ii
x
xy
n
Z
ψ
ψ
, (5.2)
которая позволяет достичь более точной аппроксимации для
малых значений ординат функции отклика. Недостатком
этой формулы является «завышение» графика получаемой
аналитической зависимости.
Для вышеприведенных аналитических зависимостей
имеются готовые алгоритмы нахождения b
j
, однако в
данной работе мы применим общий подход, основанный на
использовании оптимизирующих методов. Отметим, что
функция, значение которой минимизируется, называется
целевой, а методы, предназначенные для поиска минимума
целевой функции, носят название
оптимизирующих, одним
из которых является метод деформируемого многогранника
(метод Нелдера-Мида) [1]. Описание алгоритма данного
метода дано в Приложении.
Для вычисления b
j
также воспользуемся
возможностями MS Excel.
Задание
Цель работы: выбор вида уравнения регрессии
y=
ψ
(x) и вычисление его коэффициентов на основе
обработки результатов эксперимента.
В соответствии с вариантом составить GPSS-модель.
Обеспечить вывод в файл отчета с помощью сохраняемых
ячеек значений заданного уровня фактора и получаемой в
ходе эксперимента функции отклика. 
                                                      b1                               минимальное    расхождение    между     расчетными      и
       • гиперболическая y = b0 +                        ;                             измеренными значениями y.
                                                      x
       • степенная y = b0 ⋅ x b1 ;                                                           Имеется другой вариант функции (5.1)

       • показательные: y = 10 b0 +b1x и y = b0 ⋅ b1 ;
                                                                    x
                                                                                                                          2
                                                                                                      1 n  y i − ψ ( xi ) 
       • экспоненциальные: y = e    и y = b0 ⋅ e ;  b0 + b1 x           b1 x                       Z=   ∑
                                                                                                      n i =1  ψ ( xi ) 
                                                                                                                            → min ,        (5.2)
       • логарифмические:        y = b0 + b1 lg x                                 и
          y = b0 + b1 l n x ;                                                          которая позволяет достичь более точной аппроксимации для
       • параболическая y = b0 + b1 x + b2 x .                  2                      малых значений ординат функции отклика. Недостатком
                                                                                       этой формулы является «завышение» графика получаемой
      Таким    образом,    результатом    проведенных                                  аналитической зависимости.
экспериментов является таблица значений xi и yi. Далее                                        Для вышеприведенных аналитических зависимостей
выбирается аналитический вид функции y(x). На                                          имеются готовые алгоритмы нахождения bj, однако в
следующем этапе вычисляются параметры bj выбранной                                     данной работе мы применим общий подход, основанный на
функции, которая бы с минимальной погрешностью                                         использовании оптимизирующих методов. Отметим, что
приближалась бы к исходной функции yi(xi).Для                                          функция, значение которой минимизируется, называется
определения bj используется метод наименьших                                           целевой, а методы, предназначенные для поиска минимума
квадратов (МНК), основная цель которого состоит в                                      целевой функции, носят название оптимизирующих, одним
минимизации функции среднеквадратичного отклонения:                                    из которых является метод деформируемого многогранника
                                                                                       (метод Нелдера-Мида) [1]. Описание алгоритма данного
                           n                                                           метода дано в Приложении.
                          ∑(y      i   − ψ ( xi ) )
                                                    2
                                                                                              Для     вычисления bj также         воспользуемся
                 Z=       i =1
                                                        → min                  (5.1)   возможностями MS Excel.
                                        n
                                                                                                                Задание
      Если бы в качестве аналитической функции была бы
выбрана линейная зависимость, то функция Z будет иметь                                        Цель работы: выбор вида уравнения регрессии
вид:                                                                                   y=ψ(x) и вычисление его коэффициентов на основе
                    n
                                                                                       обработки результатов эксперимента.
                  ∑(y     i    − b0 − b1 xi )
                                                2
                                                                                              В соответствии с вариантом составить GPSS-модель.
            Z=     i =1
                                                                                       Обеспечить вывод в файл отчета с помощью сохраняемых
                        n
      Итак, весь процесс сводится к нахождению таких                                   ячеек значений заданного уровня фактора и получаемой в
значений коэффициентов b0, b1, которые давали бы                                       ходе эксперимента функции отклика.

                                       49                                                                          50

Страницы