Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 44 стр.

  Доказательство. Для n = 1 теорема очевидна. Пусть
она верна для k = n − 1, т. е. X n−1 счетно. Представим эле-
менты произведения X n в виде

            (x1 , . . . , xn−1 , xn ) = ((x1 , . . . , xn−1 ), xn ) ≡ (a, b),

где a ∈ X n−1 , b ∈ X. При каждом фиксированном a множе-
ство всех пар (a, b) равномощно множеству X и, следователь-
но, счетно. Таким образом, X n является объединением счет-
ного множества счетных множеств и по предыдущей теореме
будет счетным, ч. и т. д.
   Следствие 2. Множество всех рациональных чисел счет-
но.

   В самом деле, каждое рациональное число r = p/q (q 6=
0) определяется парой (p, q) ∈ Z × Z. Так как по теореме 5
произведение Z×Z счетно, то множество рациональных чисел
Q ⊂ Z × Z не более чем счетно. Но Q содержит N, поэтому
Q счетно.
   Следствие 3. Множество всех точек Rn с рациональными
координатами счетно, ибо Qn счетно.


Теорема 6 [Теорема Кантора.]6 Множество всех веществен-
ных чисел несчетно:

                                card N < card R.

                        6. Мощность континуума.

   Определение 22. Мощность интервала (0, 1) ⊂ R назы-
вается мощностью континуума.
   Справедливы следующие утверждения.
  6
      Доказательство теоремы см., например, в книге В. А. Зорича [6, гл. 2, §4, п. 2].



                                           44