Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 42 стр.

Теперь видно, что функция, определенная формулой
                         (
                            n,       если n четно,
      N → Z : n → f (n) = 2 n − 1
                            − 2 , если n нечетно,
является биекцией множества N на Z.
  В этом примере часть N множества Z оказывается равно-
мощной всему множеству Z. Это возможно только для бес-
конечных множеств. Конечное множество E не может быть
равномощно никакому своему подмножеству, отличному от E.
Теорема 3 ν ≡ card N является наименьшим трансфинит-
ным кардинальным числом.
   Доказательство. Пусть E – бесконечное множество, для
которого соотношение card E > card N не имеет места. Тогда
по теореме Бернштейна существует инъекция множества E в
N и, следовательно, биекция g : E → P множества E на
некоторую бесконечную часть P ⊂ N. Расположим элемен-
ты множества P в порядке возрастания и обозначим n-й эле-
мент полученной таким образом последовательности через xn .
Отображение f : N → P : n → xn будет биекцией множества
N на P , а композиция g ◦ f : N → E – биекцией множества
N на E. Следовательно, card E = card N, ч. и т. д.
   Теорема показывает, что всякое бесконечное множество обя-
зательно содержит счетное подмножество. В частности, всякое
бесконечное подмножество счетного множества счетно, и ни-
какое непустое несчетное множество не может быть частью
счетного.
Теорема 4 Если (An ) – последовательность счетных мно-
жеств, то объединение
                            ∞
                            [
                       E=     An                   (5)
                             n=1
счетно.

                             42