Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 40 стр.

  Далее, если существует биекция f множества X на Y , то
 −1
f будет биекцией множества Y на X, т. е.
                   (X ∼ Y ) ⇒(Y ∼ X)
(симметричность).
   Наконец, если существует биекция f множества X на Y
и биекция g множества Y на Z, то композиция g ◦ f будет
биекцией множества X на Z, т. е.
             ((X ∼ Y ) ∧ (Y ∼ Z)) ⇒ (X ∼ Z)
(транзитивность), ч. и т. д.
   Рассмотренное отношение эквивалентности делит все мно-
жества на классы эквивалентности, называемые мощностями
или кардинальными числами. Мощность множества X обозна-
чается символом cardX:
             card X – мощность множества X.
   Таким образом, каждому множеству X ставится в соответ-
ствие объект card X, называемый кардинальным числом или
мощностью X, причем двум множествам X и Y сопоставля-
ется одно и то же кардинальное число тогда и только тогда,
когда X равномощно Y , т. е. когда X биективно Y .
   Конечные кардинальные числа являются классами эквива-
лентности конечных множеств. Мощность бесконечного мно-
жества (бесконечное кардинальное число) называется транс-
финитным кардинальным числом или трансфинитным чис-
лом.
   Определим в множестве кардинальных чисел бинарное от-
ношение:
              если A ⊂ E, то card A ≤ card E.          (4)
Это отношение рефлексивно, так как (A ⊂ A) ⇒ (card A ≤
card A), и транзитивно, ибо если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C
и, следовательно, card A ≤ card C.

                            40