Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 39 стр.

                     4. Мощности.

   Определение 20. Множество X называется равномощ-
ным множеству Y , если существует биекция множества X на
Y.
   Если существует инъекция множества X в Y и не суще-
ствует инъекции множества Y в X, то говорят, что Y имеет
мощность, строго большую мощности множества X, или что
X имеет мощность, строго меньшую мощности множества
Y.
   Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема 2 [Теорема Бернштейна.] Для любых двух множе-
ств X и Y
   (1) либо существует инъекция множества X в Y , либо
существует инъекция множества Y в X (одно не исключает
другое);
   (2) если существуют одновременно инъекция множества
X в Y и инъекция множества Y в X, то существует также
биекция множества X на Y .
   Эту теорему называют теоремой сравнения мощностей. Из
нее следует, что любые два множества X и Y либо равномощ-
ны, либо одно из них имеет мощность, строго большую мощ-
ности другого.
   Предложение 4. Бинарное отношение "X равномощно
Y " является отношением эквивалентности ∼: X ∼ Y .
   Доказательство. Действительно, для произвольного мно-
жества X тождественное отображение idX будет биекцией мно-
жества X на себя. Следовательно,

                         X∼X

(рефлексивность).


                           39