Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 37 стр.

её верхних граней (мажорант) имеет минимум. Этот минимум
называется точной верхней гранью, или супремумом множе-
ства A и обозначается supE A или sup A:
     supE A – точная верхняя грань множества A ⊂ E.
   Если множество минорант части A ⊂ E имеет максимум,
то этот максимум называют точной нижней гранью, или ин-
фимумом множества A и обозначают inf E A или inf A:
     inf E A – точная нижняя грань множества A ⊂ E.
  Легко убедиться в справедливости следующих утвержде-
ний.
  1. Если точная верхняя грань части A принадлежит A, то
она является максимумом, и наоборот:
              b = sup A ∈ A ⇐⇒ b = max A.
Аналогично:
              a = inf A ∈ A ⇐⇒ a = min A.
   2. Если A 6= Ø, то inf A ≤ sup A.
   3. Если A ⊂ B и существуют sup A и sup B, то sup A ≤
sup B.
   4. Если существуют inf A и inf B, то inf B ≤ inf A.
   Примеры.
   1◦ . Пусть A – ограниченное подмножество (0, 2] множества
R вещественных чисел. Любое число b ≥ 2 – его верхняя гра-
ница (мажоранта) , любое число a ≤ 0 – его нижняя граница
(миноранта), sup A = max A = 2, inf A = 0.
   2◦ . Если A = {1, 10} – множество, состоящее из двух эле-
ментов: 1 и 10, то sup{1, 10} = max{1, 10} = 10. Аналогично:
inf{0, 2, 1/2} = min{0, 2, 1/2} = 0.
   3◦ . В множестве P(E) всех частей множества E при отноше-
нии порядка A ⊂ B каждое подмножество F имеет супремум

                             37