Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 35 стр.

   Если множество E не вполне упорядоченное, то существу-
ют x и y из E, не связанные никакими из трех указанных
соотношений. О них говорят, что они несравнимы.
   Примеры.
   1◦ . Отношение x ≤ y в множестве N натуральных чисел, в
множестве Z всех целых чисел, в множестве Q рациональных
чисел и в множестве R вещественных чисел является полным
отношением порядка, а множества N, Z, Q и R – вполне упо-
рядоченными множествами.
   2◦ . Отношение включения A ⊂ B есть отношение поряд-
ка на множестве P(E) подмножеств множества E. В общем
случае это отношение порядка не является полным, ибо лю-
бые два непустых непересекающихся подмножеств множества
E несравнимы.
   3◦ . В произвольном множестве E отношение "x ≤ y, если
x = y" является отношением порядка. Такой порядок называ-
ется хаотическим.


              2. Максимум и минимум.
       Точная верхняя и точная нижняя грани.

   Определение 17. Пусть E – упорядоченное множество.
Если существует такой элемент a ∈ E, что x ≤ a (соответ-
ственно a ≤ x) для всех x ∈ E, то a называется максимумом
(соответственно минимумом). Максимум и минимум обозна-
чаются символами соответственно max E и min E :
         max E = max x – максимум множества E,
                  x∈E

         min E = min x – минимум множества E.
                  x∈E

  Предложение 3. Если E имеет максимум (соответствен-
но минимум), то этот максимум (соответственно минимум)

                            35