Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 36 стр.

единствен.

   Доказательство. Если a и b – два максимума множества
E, то a ≤ b и b ≤ a. В силу антисимметричности отношения
прядка ≤ отсюда следует, что a = b. Случай минимума исчер-
пывается аналогично.
   Примеры.
   1◦ . P(X) – множество всех частей множества X, упорядо-
ченное отношением включения ⊂. Для любого A ∈ P(X) име-
ем: Ø ⊂ A ⊂ X, поэтому

              min P(X) = Ø, max P(X) = X.

   2◦ . Множество E = (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} с обыч-
ным отношением ≤ имеет максимум max E = 2, но не имеет
минимума.
   3◦ . Множества Z, Q и R с обычным отношением ≤ не имеют
ни максимумов, ни минимумов. Множество N имеет минимум
N = 1, но не имеет максимума.
   Определение 18. Пусть E – упорядоченное множество и
A ⊂ E – его подмножество. Верхней гранью (верхней грани-
цей) или мажорантой (соответственно нижней гранью (ниж-
ней границей) или минорантой) множества A называется лю-
бой элемент a ∈ E, для которого x ≤ a (соответственно a ≤ x)
при всех x ∈ A. Если такой элемент a существует, то часть
A называют ограниченной сверху или мажорируемой (соот-
ветственно ограниченной снизу или минорируемой) и говорят,
что a ограничивает сверху или мажорирует (соответственно
a ограничивает снизу или минорирует) часть A.
   Если подмножество одновременно мажорируемо и минори-
руемо, т. е. имеет верхнюю и нижнюю грани, то оно называется
ограниченным.
   Определение 19. Пусть A – часть множества E. Говорят,
что часть A имеет точную верхнюю грань, если множество

                             36