Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 41 стр.

  Покажем, что отношение (4) антисимметрично, т. е.

         ((card A ≤ card B) ∧ (card B ≤ card A)) ⇒

                      (card A = card B).
Пусть E ⊂ F . Назовем инъекцию f множества E в F , опреде-
ленную равенством f (x) = x, канонической инъекцией множе-
ства E в F . Если A ⊂ B и B ⊂ A, то одновременно существу-
ют каноническая инъекция множества A в B и каноническая
инъекция множества B в A. Тогда по теореме Бернштейна
существует биекция множества A на B и, следовательно, мно-
жества A и B равномощны, т. е. card A = card B.
   Мы доказали, что бинарное отношение (4) рефлексивно,
транзитивно и антисимметрично, поэтому оно является от-
ношением порядка.


                  5. Счетные множества.

   Определение 21. Всякое множество, равномощное мно-
жеству N натуральных чисел, называется счетным. Мощность
ν счетного множества – это мощность множества N натураль-
ных чисел: ν ≡ card N .
   Множество E конечно, если оно равномощно множеству n
натуральных чисел 1, 2, . . . , n. Всякое множество E, не являю-
щееся конечным, будем называть бесконечным множеством.
   Множество E называется несчетным, если оно не конечно
и не счетно. Если множество E конечно или счетно, будем
говорить, что E не более чем счетно.
   Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Действи-
тельно, расположим элементы множеств Z и N в следующем
порядке:
               N 1 2 3 4 5 6 7 ...
               Z 0 1 -1 2 -2 3 -3 . . .

                              41