Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Учитывая, что каждое счетное множе-
ство A
k
биективно N, расположим элементы множества A
k
в последовательность (x
kn
) и составим бесконечную таблицу,
содержащую все элементы множества E (рис. 21). Если пе-
ренумеровать эти элементы в порядке, указанном на рис. 21
стрелками:
x
11
, x
21
, x
12
, x
31
, x
22
, x
13
, x
41
, x
32
, x
23
, x
14
, . . . ,
то получится последовательность, определяющая биекцию мно-
жества N на E. Следовательно, card E = ν и E счетно, ч. и т. д.
?¡
¡µ¢
¢
¢
¢
¢®¡
¡µ
¡
¡µ
À¡
¡µ
¡
¡µ
¡
¡µ
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
a
34
a
24
a
14
a
44
·
a
33
a
23
a
13
a
43
·
a
32
a
22
a
12
a
42
·
a
31
a
21
a
11
a
41
·
Рис. 21.
Следствие 1. Если I не более чем счетно и множество B
i
при каждом i ∈ I не более чем счетно, то объединение
F =
[
i∈I
B
i
не более чем счетно.
Действительно, F равномощно некоторому подмножеству
множества (5).
Теорема 5 Если X – счетное множество, то произведение
X
n
также является счетным множеством.
43
   Доказательство. Учитывая, что каждое счетное множе-
ство Ak биективно N, расположим элементы множества Ak
в последовательность (xkn ) и составим бесконечную таблицу,
содержащую все элементы множества E (рис. 21). Если пе-
ренумеровать эти элементы в порядке, указанном на рис. 21
стрелками:

         x11 , x21 , x12 , x31 , x22 , x13 , x41 , x32 , x23 , x14 , . . . ,

то получится последовательность, определяющая биекцию мно-
жества N на E. Следовательно, card E = ν и E счетно, ч. и т. д.


                         a11    a12     a13        a14   ···
                              ¡
                              µ¢   µ­
                                   ¡   ¡
                                       µ
                          ?¡¢ ¡­ ¡
                         a21 ¢ a22­ a23 a24              ···
                              µ ­ ¡
                             ¢¡    µ
                           ¢®¡ ­ ¡
                         a31 ­a32 a33 a34                ···
                             ­¡
                              µ
                            À
                            ­¡
                         a41    a42     a43        a44   ···

                         ·      ·       ·          ·     ···


                                      Рис. 21.

  Следствие 1. Если I не более чем счетно и множество Bi
при каждом i ∈ I не более чем счетно, то объединение
                             [
                         F = Bi
                                             i∈I

не более чем счетно.
   Действительно, F равномощно некоторому подмножеству
множества (5).

Теорема 5 Если X – счетное множество, то произведение
X n также является счетным множеством.

                                            43

Страницы