Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 45 стр.

  1. Множество R всех вещественных чисел имеет мощность
континуума, ибо функция
                              x
                      x → ln
                             1−x
является биекцией интервала (0, 1) на R.
   2. Множества R, R2 , . . . , Rn имеют мощность континуума
и, следовательно, равномощны друг другу.
   3. Множество C всех комплексных чисел имеет мощность
континуума, ибо оно равномощно R2 .
   4. Любое векторное пространство конечного числа измере-
ний n над полем вещественных (или комплексных) чисел име-
ет мощность континуума, ибо оно равномощно Rn (или R2n ).
   5. Множество всех непрерывных вещественных функций ве-
щественной переменной имеет мощность континуума.
   6. Множество всех вещественных функций вещественного
переменного имеет мощность, строго большую мощности кон-
тинуума.
    Континуум–гипотезой называется предположение, соглас-
но которому не существует множеств E таких, что ν = card N <
card E < card R, т. е. вслед за кардинальным числом ν идет
сразу кардинальное число card R, между ними нет промежу-
точных кардинальных чисел.
   Коэн доказал неразрешимость континуум-гипотезы, пока-
зав, что ее истинность или ложность не могут быть установ-
лены в рамках существующей аксиоматики теории множеств,
что заставляет "критически взглянуть" на основания совре-
менной "канторовской" математики, оперирующей бесконеч-
ными процессами [7].




                            45