Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 7 стр.

Здесь δ зависит от чисел a и ε, входящих в кванторы, предше-
ствующие квантору ∃. Может оказаться, что можно выбирать
δ в зависимости только от ε, но не от a. Тогда можно записать
       (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀a ∈ R)(∀x ∈ R, |x − a| < δ) :
                      |f (x) − f (a)| < ε.
В этом случае говорят, что функция равномерно непрерыв-
на. Это свойство значительно сильнее свойства функции быть
непрерывной. Передвинув квантор ∃ влево, мы получили уси-
ление свойства. Вообще, чем раньше стоит квантор ∃, тем
свойство сильнее (если, конечно, перестановка кванторов не
искажает свойства и не приводит к бессмыслице). Произве-
дем, например, в последней формуле еще одну перестановку
кванторов:
(∃δ > 0)(∀a ∈ R)(∀ε > 0)(∀x, |x − a| < δ) : |f (x) − f (a)| < ε.
Это предложение означает, что функция f постоянна (предла-
гаю слушателям доказать это в качестве упражнения). Мы по-
лучили еще большее, если не сказать крайнее, усиление свой-
ства непрерывности.
Теорема 1 Отрицание ¬A свойства A, содержащего свой-
ство P и некоторое число n кванторов ∀ и ∃, получается
заменой каждого квантора "для всех..." на квантор "суще-
ствует... такое, что..." , каждого квантора "существует...
такое, что..." на квантор "для всех..." и свойства P на его
отрицание ¬P :         
                       ∀ → ∃,
                       
                          ∃ → ∀,                        (2)
                       
                       
                          P → ¬P.
Доказательство. Предположим, что n = 1 и имеется утвер-
ждение A:
            (∀x, удовлетворяющий S) : P.

                               7