Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 6 стр.

   Пример. Условие непрерывности вещественной функции1
ϕ вещественного переменного x в точке a с помощью кванто-
ров записывается так:
 (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R, |x − a| < δ) : |ϕ(x) − ϕ(a)| < ε, (1)
читается: "Для любого положительного ε найдется δ, строго
большее нуля, такое, что для всех x ∈ R, удовлетворяющих
неравенству |x − a| < δ, будет выполнено: |ϕ(x) − ϕ(a)| < ε".
   Работая с кванторами, нужно помнить следующее.
   1. Порядок следования кванторов имеет важное значение.
Перестановка кванторов может существенно изменить задан-
ное свойство и в некоторых случаях привести к ложному утвер-
ждению.
   Пример. Переставив кванторы в истинном утверждении
                                           1
                      (∀x ∈ (0, 1))(∃y ∈ (1, +∞)) : y =
                                           x
("Для всякой правильной дроби x, 0 < x < 1, найдется об-
ратное к ней число y, строго большее единицы"), придем к
ложному выводу:
                                            1
                      (∃y ∈ (1, +∞))(∀x ∈ (0, 1)) : y =
                                              .
                                            x
("Существует число y, обратное любой правильной дроби x").
   2. Если квантору ∃ предшествует некоторое число других
кванторов, то следующая за ним буква может оказаться функ-
цией всех букв, фигурирующих в предыдущих кванторах.
   Пример 1. В формуле (1) δ зависит от ε : δ = δ(ε).
   Пример 2. Пусть функция f непрерывна в каждой точке
числовой оси. Это означает следующее:
        (∀a ∈ R)(∀ε > 0)(∃δ(a, ε) > 0)(∀x ∈ R, |x − a| < δ) :
                               |f (x) − f (a)| < ε.
  1
      См. лекцию 2.

                                        6