Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 8 стр.

Выполнив замену символов по схеме (2), получим утвержде-
ние, противоположное A:

                (∃x, удовлетворяющий S) : ¬P,

т. е. ¬A. Наоборот, заменив в последнем предложении символы
по схеме (2), получим его отрицание:

           (∀x, удовлетворяющий S) : ¬(¬P ) ≡ P,

т. е. ¬(¬A) ≡ A, что доказывает теорему при n = 1. На слу-
чай любого числа n кванторов теорема распространяется по
индукции.
   Пример 1. Пусть функция f непрерывна в каждой точке
числовой оси, т. е.

       (∀a ∈ R)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R, |x − a| < δ) :

                       |f (x) − f (a)| < ε.
Свойство функции быть разрывной получается отрицанием
свойства непрерывности:

       (∃a ∈ R)(∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃x ∈ R, |x − a| < δ) :

                       |f (x) − f (a)| ≥ ε.
   Пример 2. Пусть функция f , определенная в окрестности
точки x0 ∈ R, имеет своим пределом в точке x0 число b. Это
означает, что

    (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, 0 < |x − x0 | < δ) : |f (x) − b| < ε.

Тогда утверждение "Число b не является пределом функции
f в точке x0 " равносильно следующему:

    (∃ε > 0)(∀δ > 0)(∃x, 0 < |x − x0 | < δ) : |f (x) − b| ≥ ε.



                                8