Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

h
k+1
2
i
+
h
k
2
i
= k + 1. (k + 1) −
h
k+1
2
i
=
h
k+2
2
i
. S
k+1
= (−1)
k+1
h
k+2
2
i
.
S
n
= 1 ·1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.
S
1
= 1·1! = 1 S
1
= 2!−1,
S
2
= S
1
+ 2 · 2! = 5 S
2
= 3! − 1, S
3
= S
2
+ 3 · 3! = 23,
S
3
= 4! − 1, S
4
= S
3
+ 4 · 4! = 119 S
4
= 5! − 1,
S
n
= (n + 1)! −1. (9)
n. n = 1
∀ k > 1.
S
k
= (k + 1)! − 1. (10)
S
k+1
.
S
k+1
= S
k
+ (k + 1)(k + 1)! = [( k + 1)! − 1] + (k + 1)(k + 1)! =
= (k + 1)! [1 + k + 1] − 1 = (k + 1)! (k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1.
n = k +1.
∀ n ∈ N.
sin x + sin 2x + ... + sin nx =
sin
n+1
2
x
sin
x
2
sin
nx
2
,
(11)
x 6= 2πm, m −
                                 h         i       h i
                                     k+1            k
äóùåå ðàâåíñòâî, èìååì                2
                                               +    2
                                                         = k + 1. Îòêóäà (k + 1) −
h         i   h    i                                                               h         i
    k+1
     = k+2
     2   2
            . Çíà÷èò, ïðèõîäèì ê Sk+1 = (−1)k+1                                        k+2
                                                                                        2
                                                                                                 . Òåì
ñàìûì ìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (7).
      Ïðèìåð 4. Íàéòè Sn = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.
      Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà íàõîäèì S1 = 1·1! = 1 èëè S1 = 2!−1,
S2 = S1 + 2 · 2! = 5 èëè S2 = 3! − 1, S3 = S2 + 3 · 3! = 23, èëè
S3 = 4! − 1, S4 = S3 + 4 · 4! = 119 èëè S4 = 5! − 1, îòêóäà
ñëåäóåò ãèïîòåçà

                               Sn = (n + 1)! − 1.                                                  (9)
Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü (9) ïðè ëþáûõ n. Ïðè n = 1 ãèïî-
òåçà âåðíà. Ïóñòü îíà âåðíà ïðè ∀ k > 1.

                               Sk = (k + 1)! − 1.                                                 (10)

Äàëåå âû÷èñëÿåì Sk+1 .

    Sk+1 = Sk + (k + 1)(k + 1)! = [(k + 1)! − 1] + (k + 1)(k + 1)! =

= (k + 1)! [1 + k + 1] − 1 = (k + 1)! (k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1.
   Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü (9) è ïðè n = k + 1. Çíà÷èò
ìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü (9) ïðè ∀ n ∈ N.
      Ïðèìåð 5. Äîêàçàòü, ÷òî
                                                           sin n+1  x
                  sin x + sin 2x + ... + sin nx =               2
                                                             sin x2
                                                                        sin nx
                                                                             2
                                                                               ,
                                                                                                  (11)


ãäå x 6= 2πm, à m − öåëîå ÷èñëî.


                                               10

Страницы