Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

k + 1
x
k
> 1, x
k+1
< 1.
x
1
, x
2
, ..., x
k−1
, x
k
·x
k+1
.
x
1
+x
2
+...+x
k−1
+x
k
·x
k+1
≥ k.
x
k
+ x
k+1
,
x
1
+x
2
+...+x
k−1
+x
k
+x
k+1
+x
k
·x
k+1
≥ k +x
k
+x
k+1
,
x
1
+ x
2
+ ... + x
k+1
≥ k + 1 + x
k
+ x
k+1
−x
k+1
x
k
·x
k+1
−1 =
k + 1+(1−x
k+1
)(x
k
−1) ≥ k + 1, (1 −x
k+1
)(x
k
−1) > 0.
n = k + 1
∀ n ∈ N.
∀ n ∈ N,
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ... +
1
2n − 1
−
1
2n
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+ ... +
1
2n
. (15)
n = 1 1 −
1
2
=
1
2
. n = k
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ... +
1
2k − 1
−
1
2k
=
1
k + 1
+
1
k + 2
+ ... +
1
2k
. (16)
n = k + 1 :
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ... +
1
2k − 1
−
1
2k
+
1
2k + 1
−
1
2(k + 1)
=
óñëîâèþ (13). Äîêàæåì, ÷òî äëÿ íèõ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
(14). Åñëè âñå ýòè ÷èñëà ðàâíû 1, òî èõ ñóììà k + 1 è ñîîòíî-
øåíèå (14) èìååò ìåñòî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäè íèõ èìååòñÿ
õîòÿ áû îäíî ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 1. Òîãäà îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ
åù¼ îäíî ÷èñëî, íå ðàâíîå 1. Ïðè÷åì, åñëè îäíî èç íèõ áîëüøå
åäèíèöû, òî âòîðîå ìåíüøå 1. Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî xk > 1, xk+1 < 1. Âîçüìåì ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë
x1 , x2 , ..., xk−1 , xk · xk+1 . Ýòî ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 1. Ïîýòîìó ïî
èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ x1 +x2 +...+xk−1 +xk ·xk+1 ≥ k.
Ïðèáàâëÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ xk + xk+1 ,
ïîëó÷àåì x1 +x2 +...+xk−1 +xk +xk+1 +xk ·xk+1 ≥ k +xk +xk+1 ,
èëè x1 + x2 + ... + xk+1 ≥ k + 1 + xk + xk+1 − xk+1 xk · xk+1 − 1 =
k + 1 + (1 − xk+1 )(xk − 1) ≥ k + 1, òàê êàê (1 − xk+1 )(xk − 1) > 0.
     Ìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü (14) ïðè n = k + 1 è, òåì
ñàìûì è äëÿ ∀ n ∈ N.
      Ïðèìåð 7. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀ n ∈ N, ñïðàâåäëèâî òîæ-
äåñòâî
    1 1 1          1     1    1   1          1
 1 − + − + ... +       −   =    +    + ... + . (15)
    2 3 4        2n − 1 2n   n+1 n+2        2n
      Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ò.å. 1 − 12 =
1
2
  .   Ïóñòü ïðè n = k ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (15), ò.å.

    1 1 1           1    1    1   1          1
 1 − + − + ... +       −   =    +    + ... + . (16)
    2 3 4        2k − 1 2k   k+1 k+2        2k
Çàïèøåì òåïåðü äîêàçóåìîå ðàâåíñòâî (15) äëÿ n = k + 1 :

           1 1 1           1    1   1       1
      1−    + − + ... +       −   +     −         =
           2 3 4        2k − 1 2k 2k + 1 2(k + 1)

                                 12

Страницы