Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n = 1
n = k
k
X
s=1
sin sx =
sin
k+1
2
x
sin
x
2
sin
kx
2
. (12)
n = k + 1
k+1
X
s=1
sin sx =
k
X
s=1
sin sx + sin(k + 1)x =
=
sin
k+1
2
x
sin
x
2
sin
kx
2
+ sin(k + 1)x =
=
sin
k+1
2
x
sin
x
2
sin
kx
2
+ 2 sin
k + 1
2
x · cos
k + 1
2
x =
= sin
k + 1
2
x ·
sin
kx
2
+ 2 cos
k+1
2
· sin
x
2
sin
x
2
= sin
k + 1
2
x ·
sin
k+2
2
x
sin
x
2
.
n = k + 1.
∀ n ∈ N.
n
x
1
, x
2
, ..., x
n
x
1
· x
2
· ... · x
n
= 1, (13)
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
≥ n. (14)
n = 1 x
1
= 1.
n = k
k + 1 x
1
, x
2
, ..., x
k
, x
k+1
   Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ðàâåíñòâî (11)èìååò ìåñòî. Ïóñòü
ïðè n = k
                        k
                        X                sin k+1
                                              2
                                                 x    kx
                              sin sx =         x   sin .         (12)
                        s=1                sin 2       2
Òîãäà (ïðè n = k + 1 )
                k+1
                X                 k
                                  X
                       sin sx =         sin sx + sin(k + 1)x =
                 s=1              s=1

                       sin k+1
                            2
                               x     kx
                  =          x   sin    + sin(k + 1)x =
                         sin 2        2
               sin k+1
                    2
                       x     kx         k+1         k+1
           =         x   sin    + 2 sin     x · cos     x=
                 sin 2        2          2           2
          k + 1 sin kx
                     2
                       + 2 cos k+1
                                2
                                   · sin x2       k + 1 sin k+2
                                                             2
                                                                x
  = sin        x·             x             = sin      x·     x .
            2             sin 2                     2     sin 2
Ïîêàçàëè, ÷òî (11) ñïðàâåäëèâî è ïðè n = k + 1. Ñëåäîâàòåëü-
íî, (11) èìååò ìåñòî ïðè ∀ n ∈ N.
   Ïðèìåð 6. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ n ïîëîæèòåëüíûõ
÷èñåë x1 , x2 , ..., xn óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

                               x1 · x2 · ... · xn = 1,           (13)

èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

                           x1 + x2 + ... + xn ≥ n.               (14)

   Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 èç óñëîâèÿ (13) ñëåäóåò x1 = 1.
Ïîýòîìó (14) âûïîëíåíî.
   Ïóñòü ïðè n = k èç (13) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå (14) è ïóñòü
k + 1 ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1 , x2 , ..., xk , xk+1 óäîâëåòâîðÿþò

                                          11

Страницы