Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
k + 2
+ ... +
1
2k
+
1
2k + 1
+
1
2k + 2
. (17)
1
2k + 1
−
1
2(k + 1)
≡
1
2k + 1
+
1
2k + 2
−
1
k + 1
. (18)
n.
∀ n ∈ N
1. 1 + 1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n+1)
2
;
2. 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
;
3. 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
=
n
2
(n+1)
2
4
;
4. 1 + 2 + 2
2
+ ... + 2
n−1
= 2
n
− 1;
5. 1 − 2
2
+ 3
2
− 4
2
+ ... + (−1)
n−1
n
2
= (−1)
n
n(n+1)
2
;
6. 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ ... + (2n − 1)
2
=
n(2n−1)(2n+1)
3
;
7. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) =
n(n+1)(n+2)
3
;
               1            1      1      1
               =   + ... +     +      +       .       (17)
              k+2          2k 2k + 1 2k + 2
Âû÷èòàÿ ïî÷ëåííî èç (17) òîæäåñòâî (16), ïðèõîäèì ê òîæäå-
ñòâó
          1        1           1      1         1
              −           ≡        +       −      .   (18)
        2k + 1 2(k + 1)      2k + 1 2k + 2 k + 1
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè (16) èìååò ìåñòî, òî â ñèëó ìàòåìà-
òè÷åñêîé èíäóêöèè (15) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé n.
   Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíî ðàç-
äåëèòü äðóã íà äðóãà ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè äîêàçûâàåìûõ
òîæäåñòâ.
   Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ìîæíî äîêà-
çûâàòü ðàçëè÷íûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ äåëèìîñòè íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë.
  Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáî-
òû.
   Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, äîêàçàòü, ÷òî
äëÿ ∀ n ∈ N ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
                               n(n+1)
1. 1 + 1 + 2 + 3 + ... + n =      2
                                      ;
                               n(n+1)(2n+1)
2. 12 + 22 + 32 + ... + n2 =        6
                                            ;
                               n2 (n+1)2
3. 13 + 23 + 33 + ... + n3 =        4
                                         ;
4. 1 + 2 + 22 + ... + 2n−1 = 2n − 1;
5. 1 − 22 + 32 − 42 + ... + (−1)n−1 n2 = (−1)n n(n+1)
                                                  2
                                                      ;
                                          n(2n−1)(2n+1)
6. 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1)2 =             3
                                                        ;
                                                n(n+1)(n+2)
7. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) =          3
                                                            ;


                                    13

Страницы