Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(2k + 1) :
[1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1)] + (2k + 1) = k
2
+ (2k + 1).
k
2
.
k
2
+ 2k + 1 = ( k + 1)
2
.
n = 1,
n = k n = k + 1.
n = 1
n = 1 + 1 = 2, n = 2 + 1 = 3,
n = 3 + 1 = 4 n ∈ N.
∀n ∈ N ∀x ≥ −1
(1 + x)
n
≥ 1 + nx, (4)
x = 0
n = 1
k
x > −1 :
(1 + x)
k
≥ 1 + kx. (5)
x > −1, 1 + x > 0.
1 + x :
(1 + x)
k+1
≥ 1 + kx + x + kx
2
.
kx
2
(1 + x)
k+1
≥ 1 + (k + 1)x.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ê îáåèì ÷àñòÿì (2) ïðèáàâèì (2k + 1) :
[1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1)] + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1). Íî, ïî
ïðåäïîëîæåíèþ, âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ðàâíî k 2 . Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òîæäåñòâî k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 .
    Èòàê, (1) ñïðàâåäëèâî ïðè n = 1, à èç åãî ñïðàâåäëèâîñòè
ïðè n = k âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü è ïðè n = k + 1. Òîãäà èç
ñïðàâåäëèâîñòè ïðè n = 1 ñëåäóåò, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè
n = 1 + 1 = 2, à òîãäà îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè n = 2 + 1 = 3, è
ïðè n = 3 + 1 = 4 è âîîáùå ïðè âñåõ n ∈ N.
    Ïðèìåð 2. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀n ∈ N è ∀x ≥ −1 ñïðà-
âåäëèâî íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè

                       (1 + x)n ≥ 1 + nx,                    (4)
à ïðè x = 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî.
   Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ñîîòíîøåíèå (4) ñïðàâåäëèâî, ïî-
ñêîëüêó îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî. Äàëåå ïðåäïîëîæèì,
÷òî ñîîòíîøåíèå (4) ñïðàâåäëèâî äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k è
x > −1 :

                       (1 + x)k ≥ 1 + kx.                    (5)
Òàê êàê x > −1, òî 1 + x > 0. Óìíîæèì íåðàâåíñòâî (5) íà
ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî 1 + x :

                 (1 + x)k+1 ≥ 1 + kx + x + kx2 .

Îòáðàñûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî kx2 â ïðàâîé ÷àñòè, ïîëó-
÷àåì íåðàâåíñòâî

                   (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x.

                               8

Страницы