Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∀n ∈ N
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n
2
. (1)
1 = 1
2
, 1 + 3 = 4 = 2
2
, 1 + 3 + 5 = 9 = 3
2
, 1 + 3 = 5 =
7 = 16 = 4
2
.
1 + 3+ 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
.
∀k
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k
2
, (2)
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)
2
. (3)
   4.  ÷åì ñîñòîèò ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè? Èç êàêèõ
ýòàïîâ îí ñîñòîèò?
   5.  ÷åì ïðèíöèïèàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ðàññóæäåíèåì,
îïèðàþùèìñÿ íà íåïîëíóþ èíäóêöèþ, è ìåòîäîì ìàòåìàòè÷å-
ñêîé èíäóêöèè?
   6. ×òî îáùåãî ó âñåõ çàäà÷, êîòîðûå ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ìà-
òåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè?

   Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.

   Ïðèìåð 1. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀n ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåí-
ñòâî

                  1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 .              (1)
   Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíûå ñóììû íå÷åò-
íûõ ÷èñåë: 1 = 12 , 1 + 3 = 4 = 22 , 1 + 3 + 5 = 9 = 32 , 1 + 3 = 5 =
7 = 16 = 42 . Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðèáàâèâ ê ïðåäûäóùåé ñóì-
ìå ñëåäóþùåå íå÷åòíîå ÷èñëî 9, ïîëó÷èì êâàäðàò ÷èñëà 5, ò.å.
25. È äåéñòâèòåëüíî, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 . Ïîñëå ýòîãî ìû
âûäâèãàåì ãèïîòåçó, ÷òî èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå (1). Ïåðâàÿ
÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñïðàâåäëèâà. Òåïåðü ïðîâåðèì
âûïîëíåíèå âòîðîé ÷àñòè, ò.å. åñëè äëÿ ∀k èìååò ìåñòî

                  1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k 2 ,             (2)
òî áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

         1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 .      (3)


                                  7

Страницы